立足基础 关注过程 重视思想 导向教学——2011年浙江省初中数学学业考试卷赏析

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(金华市教育局教研室 浙江金华 321000)

立足基础关注过程重视思想导向教学
——2011年浙江省初中数学学业考试卷赏析

●傅瑞琦

(金华市教育局教研室 浙江金华 321000)

2011年浙江省初中数学学业考试卷的命题，在继承前几年命题整体思路的基础上，从学科知识、思想方法和学习潜能等方面出发，着重考查数学的基础知识、基本技能、基本的数学思想方法，注重通性通法，淡化特殊技巧，多层次地考查学生的数学素养和理性思维的能力.一些地市为了加强交流合作，对联合命题进行有益尝试，如嘉兴与舟山，金华与丽水等.

1 总体评价

每份试卷都能够按照《数学课程标准》和《考试说明》的要求进行命题，较好地体现新课程的评价理念，准确地把握考试的内容范围和难度要求,对日常教学有着很好的导向作用.

1．1 整体稳定，适当调整

2011年各地市试卷在形式上与往年基本保持一致，金华卷的考试时间由原来的100分钟调整为120分钟.

1.2 全面考查，突出重点

初中数学的核心内容是学生进一步学习的基础,各地试卷都十分关注学生作为现代公民应具备的数学素养.在注意内容覆盖的基础上，突出考查数与式、方程与不等式、函数、基本图形的性质、图形间的基本关系、统计应用、简单概率计算等核心知识内容.同时关注了函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想，以及特殊与一般、运动与变化、转化与归纳等数学观念．

1.3 层次分明，确保试题合理的难度和区分度

各地试卷从初中数学课标要求的数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用(课题学习)等方面，按了解、理解、掌握、灵活运用和经历、体验、探索等目标，对学生的学习水平和发展状况进行评价.同时各卷整体把握，不以单个题的高区分度，而是难点分散，基本上在第10，16，23，24题上来分步区分，达到全卷区分，保证“课标”区分度要求的基本水平.

1.4 科学严谨，确保试题的信度、效度和自洽性

各试卷的图文设置合理、表达清晰自然、关键问题的原创，体现了试题公平性.试卷起点合适，有效地控制和减少了学生答题过程中产生的误差，有助于学生正常发挥学习水平.一些地市实行网上阅卷，对评卷以零误差控制严格，保证了评分结果的可靠性，确保整个考试具有较高的信度．

试题的命制注意了整体的和谐、试题内容的搭配互补，使考查功能之间形成合理的支撑，努力实现试题在能力层面上的相互校正功能，实现整套试卷题目间的合理性、自洽性与可推广性．

2 试题特点

2.1 发挥题型功能，全新角度考查双基

各地试卷立足基础，加强对数学核心观念、内容、思想方法的考查，以保证有较高的效度，体现基础性、普及性、发展性这一课标的基本目标.例如宁波卷第1～6，13～15，17题等运算、判断或操作方式单一，直接考查对应的基本知识，学生能直接上手，第8～11，16小题在数学核心知识的交汇处命题,适度综合,考查最基本的数学方法和数学思想；又如嘉兴、舟山卷选择题前7题、填空前4题及解答题的前2题等，也都强调知识的直接应用，淡化繁杂的计算.整卷的运算不需借助计算器，意在考查学生的基本素养与能力.

各地试卷对后继学习紧密的学科主干知识作重点考查，显示出核心知识在试卷中突出的地位．如初中数学中起着主导作用的函数，湖州卷第10,15,19,23(2),24题考查了初中所学的所有函数，如图像判断、图像中获取信息、求函数解析式、函数模型建立等，直接反映出函数的基础性及与方程、不等式之间的内在联系.

同时,也注意了考查方式的多样化和考查角度的新颖性.

例1如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过点(0，-3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间.你确定的b的值是______.

(2011年浙江省湖州市数学中考试题)

图1 图2

例2已知二次函数的图像如图2所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是

( )

A.有最小值0，有最大值3

B.有最小值-1，有最大值0

C.有最小值-1，有最大值3

D.有最小值-1，无最大值

(2011年浙江省温州市数学中考试题)

例3如图3，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(-2,4)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA.

(1)求△OAB的面积.

(2)若抛物线y=-x2-2x+c经过点A.

①求c的值；

②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界)，求m的取值范围(直接写出答案即可).

(2011年浙江省温州市数学中考试题)

图3 图4

评析函数的概念、意义及其性质是函数知识的核心，对二次函数有关概念和性质的考查，大多借助函数的图像来呈现，体现数形结合思想.例1的填空题设置成开放性问题，在两点之间找一点的坐标求解析式；例2观察图像特征来判断结论，考查对函数最值的理解；例3结合直角三角形、三角形中位线来考查函数的平移.

另外，从教材中的例题、习题改编，在各地试卷中极为常见.例如杭州卷的第1～5,7,10～15,17～20题等都直接取材于课本，意在引导师生重视教材、用好教材，这对减轻学生过重课业负担、减少题海战术有很强的现实意义.

例4如图4，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为

( )

A.600 m B.500 m C.400 m D.300 m

(2011年浙江省金华、丽水市数学中考试题)

(1)求证：∠A≠30°；

(2)将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．

(2011年浙江省杭州市数学中考试题)

评析这2道题均由课本例题、习题改编而成，例4通过现实有趣的情景，将勾股定理、三角形全等等知识应用巧妙地蕴含其中；例5将几何体的表面积转化为圆锥表面积问题.

2．2 联系生活实际，突出应用意识

现实生活是数学学科的出发点和最终归宿，让数学回归现实是数学课程改革的重要目标之一．一方面,各地试题设计注意结合本地的社会经济和学生的生活实际,关注社会热点，寓思想教育于数学试题之中；另一方面,试题创设学生身边熟悉的生活情景，体现数学应用的广泛性，充分体现了Pisa理念——数学素养是每个人应具备的基本素养.该类试题在各地试卷中占有相当的比例.

例6为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图5所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45 cm，60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图6．

图5 图6

(1)求车架档AD的长；

(2)求车座点E到车架档AB的距离．

(2011年浙江省绍兴市数学中考试题)

例7某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地点植树后原路返校，如图7为师生离校路程s与时间t之间的图像.请回答下列问题：

图7

(1)求师生何时回到学校？

(2)如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半小时到达植树地点，请在图中画出该三轮车运送树苗时，离校路程s与时间t之间的图像，并结合图像直接写出三轮车追上师生时，离学校的路程.

(3)如果师生骑自行车上午8时出发，到植树地点后，植树需2小时，要求14时前返回到学校，往返平均速度分别为每小时10 km和每小时8 km.现有A，B，C，D这4个植树点与学校的路程分别是13 km，15 km，17 km，19 km，试通过计算说明哪几个植树点符合要求.

(2011年浙江金华、丽水市数学中考试题)

评析自行车车架是例6的问题原型，抽象出几何图形，2个三角形构成的数学问题来设计考题，有效地考查了学生运用直角三角形、三角函数等知识来解决实际问题的能力.例7第(1)小题用待定系数法求出一次函数解析式后求它与t轴的交点坐标，也可以直接从图像信息分析得到师生返回学校的速度v=5 km/h;第(3)小题切入点较多，思考角度灵活，解题方式多样，可以采用不等式建模解决问题，也可以逐个代入、部分代入通过验证的方法来求解.不同的解答反映出学生不同的思维层次.

2.3 关注过程与方法，强调探究意识

数学思想方法是数学学科的灵魂，蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，渗透在数学教与学的各个环节中．各地试卷在注重基础知识的同时，强调对重要数学思想方法的考查.通过创设一个个看似平实简洁的问题情境，让学生在具体情境中灵活应用知识去发挥其解决问题的能力，考查知识和思维的过程和方法，体现能力立意的思想.

(1)经历合理推断过程.每份试卷都至少有2道题是通过设置问题情景，经历合理推断或猜测的过程，将合情推理与演绎推理有机结合，考查推理能力.例如台州卷第7题对角线垂直的判断，第19题平行四边形背景下对全等三角形的证明，第23题新定义线段比值λA概念的理解后,根据λA的取值范围来推断△ABC的类型.

(2)经历图形变换过程.图形变换是三角形、四边形、圆等基本几何图形性质研究的主线.各地设立以变换为探索图形性质的背景问题，考查学生对基本图形本质的理解，有效地考查了数学思考.如湖州卷第3题网格图形中的旋转角度、温州卷第10题正方形对折问题和第22题抛物线的平移、嘉兴舟山卷第8题旋转后角度问题、义乌卷第16题直线平移后三角形相似存在性问题以及金华卷第16题对折后线段与双曲线交点范围的探究等.

图8

例8如图8，一次函数y=-2x的图像与二次函数y=-x2+3x图像的对称轴交于点B.

(1)写出点B的坐标________.

(2)已知点P是二次函数y=-x2+3x图像在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于点C,D.若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为________.

(2011年浙江省义乌市数学中考试题)

评析将直线的平移、三角形相似、直角三角形的性质巧妙地融为一体，能全面考查考生的观察、猜测和计算能力，具有较好的区分度.

(3)经历操作实践过程.操作性试题的设置是关注学生学习过程的具体体现，蕴含了对观察、动手操作、猜测推理、合理论证等数学活动的考查，体现了日常教学中,通过动手实践、自主探究、合作交流的方式使学生获得一定的数学活动经验.2011年的试卷常常通过画图、拼图、分割图形、图案变换与设计、折纸、剪纸等来体现.如温州卷第19题用七巧板拼图、宁波卷第21题网格中画轴对称图、杭州卷第18题三角形的尺规作图、台州卷第23题画符合一定条件的格点三角形、金华丽水卷第20题在直角坐标系中作线段等.

(4)经历自主探究过程.学生的学习能力表现在对所学知识基础上能够作深入探究和拓展探究.一方面,各地试题通过寻找规律、探究未知来考查数学能力，譬如嘉兴舟山卷第4题纸环链的颜色规律、衢州卷等腰直角三角形中小正方形的剪法规律探究;另一方面,通过设计课题研究问题来探究未知，其目的是让学生进行自主探索、合作交流，学会综合运用所学知识解决问题的能力,如宁波卷第25题以情景对话图的形式呈现，对“奇异三角形”特点的探究;嘉兴舟山卷第23题四边形外构造等腰直角三角形后形成新的四边形类型的探究;义乌卷第23题旋转后图形变化的探究等.

例9设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数)．

(1)写出其中的2个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这2个特殊函数的图像；

(2)根据所画图像，猜想出：对任意实数k，函数的图像都具有的特征，并给予证明；

(3)对任意负实数k，当xlt;m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值.

(2011年浙江省杭州市数学中考试题)

评析该题先画图再猜测到证明说理.从特殊到一般，经历了对数学问题探究的思考过程，突出数形结合,凸显了数学思想方法在解题中的重要作用，较好地考查了学生的数学活动能力、观察判断力和数学推理能力.

2.4 注重知识联系，综合考查能力

图9

2011年各地试卷都精心设计了1～2道压轴题.这些试题表述自然流畅、简单明了，采用“宽入窄出、缓步提升”的分层次考查策略.既关注了不同数学水平学生的解题需要，又突出了题目应有的选拔功能．解题时应注重各知识之间的联系，需要综合运用代数、几何等几个领域的核心知识去灵活地解决问题．如衢州卷第24题在直线的旋转变换中，把操作、观察、探究和计算融合在一起探究图形中等腰三角形的存在性问题；金华卷第24题第(1)、(2)小题是基础问题，容易求解，第(3)小题是因动点而产生的相似三角形的分类讨论问题，需化动为静，突出考查了分类讨论、数形结合、函数与方程和转化(化归)思想.涉及知识众多，如勾股定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形、线段的垂直平分线、一元一次方程、分式方程等，几乎涉及了初中所有重要的数学核心知识.解题方法也很宽泛，无论从哪个基本图形出发都能找到解题思路.

例10如图9，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(-4,0)，点B的坐标是(0,b)(bgt;0).P是直线AB上的一个动点,作PC⊥x轴，垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P′(点P′不在y轴上)，连结PP′,P′A,P′C.设点P的横坐标为a.

(1)当b=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是(-1，m),求m的值.

(2)若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D.当P′D∶DC=1∶3时，求a的值.

(3)是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由.

(2011年浙江省温州市数学中考试题)

评析本题以几何图形中的运动元素为背景,集代数、几何核心内容于一体,由易到难，梯度设计合理.构思2个变量引起图形变化,点动引起线动，点动引起形变.第(2)小题关注在变化中隐含着不变的因素;第(3)小题是等腰直角三角形存在性探究型问题，题设层层递进,使学生经历了问题探究的全过程.设问角度常规但背景新颖，对学生分析、解决问题的能力提出了较高的要求.

3 教学建议与思考

3.1 加强研究思考，回归课标教材

《课程标准》、《学科说明》和教材是中考命题的依据，是编拟中考数学试题的“题源”.想要提高学生的数学能力，应紧扣课标、回归教材课本、发挥其示范作用，使教学和复习起到事半功倍的作用.

3.2 关注双基教学，加强解题规范

基础知识和基本技能是解决数学问题的“通法通则”，对数学基本概念、基本运算、基本图形及基本数学思想方法要清楚、熟练，并加强解题规范的培养.

3．3 内化思想方法，勤于反思总结

关注数学思想和数学方法，是目前教学中较为薄弱的环节之一．笔者认为应以具体的数学知识为载体，注意在日常教学中对数学思想和数学方法的渗透，让数学思想方法自然地“内化”在学生的思维方式之中.同时要勤于反思，养成独立解题后反思的习惯.

3.4 注重过程教学，培养思维品质

“重结论、轻过程”，仍是当前教学中的一个重要误区．在教学过程中，要从重视知识结论转向重视知识的形成过程，要让学生经历数学知识的探索、发现或形成过程，让学生参与分析题意、寻求解题思路的过程，并留有充分时间感悟数学思想、积累解题经验，从而培养学生思维的灵活性、全面性、严密性，以及思维的广度和深度等.