二阶非线性周期边值问题的正解

胡金燕， 孔令彬

( 东北石油大学 数学科学与技术学院，黑龙江 大庆 163318 )

0 引言

研究二阶非线性周期边值问题，即

(1)

式中：参数α>0,0<4β-α2<1.

二阶非线性周期边值问题出现在物理及应用数学领域中[1-8]，人们对此进行研究，讨论含单参数的二阶非线性周期边值问题，获得正解存在性结果[1].有关含双参数二阶非线性周期边值问题的研究结果还不多见.笔者研究一类二阶非线性周期边值问题式(1)(简称问题(1))，在非线性项满足适当的条件下，证明正解的存在性.

1 问题假设

定义：称u(t)为边值问题(1)的1个正解，如果它满足

(ⅰ)u(t)∈C2(0,2π)∩C1[0,2π],u(t)>0,t∈(0,2π)；

(ⅱ)u″(t)+αu′(t)+βu(t)=f(t,u(t)),并且u(t)满足

u(i)(0)=u(i)(2π),i=0,1,

则主要结果是

定理1假设(H1)，(H2)或(H1)，(H3)成立，则边值问题(1)至少存在1个正解.

推论假设(H1)及条件之一成立：

则边值问题(1)至少存在1个正解.

为证明定理1，需要用到引理.

引理1[9]设E是Banach空间，K是E中的锥，T:K→K是全连续算子.

(1)如果对任何u∈∂Kr及任何0<λ≤1都有λTu≠u，则i(T,Kr,K)=1；

2 问题(1)的等价形式与Green函数估计

引理2[1]若线性周期边值问题

(2)

有唯一解r(t)∈C2[0,2π]，则周期边值问题：

有唯一解，即

其中

引理3线性周期边值问题式(2)存在唯一解

证明：注意到α>0,0<4β-α2<1，直接计算即可.

由r(t)的表达式，容易知道r(t)>0,t∈(0,2π).再根据引理2和引理3可知，问题(1)等价于积分方程：

(3)

其中

引理4∀s,t∈[0,2π]，成立不等式：

证明设h(t)=sinλt+exp(-απ)sinλ(2π-t),t∈[0,2π]，则h(0)=e-απsin 2λπ，h(2π)=sin 2λπ，t∈[0,2π]并且

h′(t)=λcosλt-λexp(-απ)cosλ(2π-t),

h″(t)=-λ2[sinλt+exp(-απ)sinλ(2π-t)]<0,

故h(t)于[0,2π]是凸函数.令h′(t)=0，可得

h(t0)=sinλt0+exp(-απ)sinλ(2π-t0)=

从而

h(t)≤max{h(0),h(2π),h(t0)}≤

max{exp(-απ)sin 2λπ,sin 2λπ,exp(-απ)+1}≤

1+exp(-απ).

另外

h(t)≥min{h(0),h(2π),h(t0)}≥

min{exp(-απ)sin 2λπ,sin 2λπ,1-exp(-απ)cos 2λπ}≥

exp(-απ)[1-exp(-απ)cos 2λπ]sin 2λπ.

因此对∀s,t∈[0,2π]有

3 定理1的证明

定义映射：Φ:C[0,2π]→C[0,2π]，

在C[0,2π]中定义锥K：

于是∀u∈K，由引理4知

故Φ(K)⊂K.另外，容易证明Φ:K→K全连续.

现在证明定理1.

情形1：由(H2)可知，可选择ε∈(0,β)及r>0使

f(t,u)≤(β-ε)u,0≤u≤r,∀t∈[0,2π].

证明∀u∈∂Kr及0<μ≤1有μΦu≠u.若不然，则存在u0∈∂Kr,0≤μ0≤1使μ0Φu0=u0，由映射Φ的定义知u0(t)满足

(4)

将式(4)的方程两边从0到2π积分并利用条件得

由引理1知i(Φ,Kr,K)=1.

再由(H2)可知，存在ε>0及H>0使

f(t,u)≥(β+ε)u,u≥H,∀t∈[0,2π].

f(t,u)≥(β+ε)u-C,u≥0.

证明∀u∈∂KR及μ≥1有μΦu≠u.若不然，则存在u0∈∂KR,μ0≥1使μ0Φu0=u0，于是式(4)成立，对式(4)两边从0到2π积分得

由引理1知i(Φ,KR,K)=0.再根据不动点指数的可加性知

情形2：由(H3)可知，存在ε>0和r>0使

f(t,u)≥(β+ε)u,0≤u≤r,∀t∈[0,2π].

证明∀u∈∂Kr及μ≥1，有μΦu≠u.若不然，则存在u0∈∂Kr,μ0≥1使μ0Φu0=u0，于是u0(t)满足式(4).将式(4)从0到2π积分得

再由(H3)可知，存在ε∈(0,β)及H>0使

f(t,u)≤(β-ε)u,u≥H,∀t∈[0,2π].

f(t,u)≤(β-ε)u+C,u≥0,∀t∈[0,2π].

由不动点指数的可加性知

4 结束语

研究一类含双参数二阶非线性周期边值问题，在非线性项满足适当的条件下，利用对格林函数的估计不等式和锥不动点定理，给出了问题正解存在的充分条件,证明了其正解的存在性.