哥德尔的辩证思维与不完全性定理证明

林世芳

(福建医科大学人文学院，福州 350008)

哥德尔的辩证思维与不完全性定理证明

林世芳

(福建医科大学人文学院，福州 350008)

通过对哥德尔不完全性定理的证明语境和证明思维过程进行分析，可以从四个方面揭示出哥德尔思维方式的辩证性。这四个方面分别是:概念的相互隶属、问题的嬗变、系统与系统的同构转换以及悖论结构的转换和利用。

哥德尔;不完全性定理;辩证思维

辩证思维方式是从联系、运动、变化和发展的观点来理解和把握事物及其概念的，它反对孤立、片面、静止和形而上学的观点。恩格斯指出:“辩证逻辑和旧的单纯形式的逻辑相反，不像后者那样只满足于把思维运动的各种形式，即各种不同的判断形式和推理形式列举出来并且毫无联系地并列起来。相反地，辩证逻辑由此及彼地推导出这些形式，不把它们并列起来，而使它们互相从属，从低级形式发展出高级形式。”［1］数学中的概念与命题是相互联系的，这种相互联系是具体的、抽象的，也是深刻的，并不能轻易地被发现，需要发现者非凡的想象力和逻辑推理能力。逻辑学家柯琴是这样评价哥德尔不完全性定理的证明的:“这个证明的两面性也反映出哥德尔头脑里某些本质性的东西，狂野的想象力同单调的循规蹈矩结合在一起。”每一个证明都有特定的逻辑结构，该结构是一个相互联系的系统。杰出的瑞士学者皮亚杰在《结构主义》一书中将结构的整体性、转换和自身调节性紧密联系在一起。他认为各种结构都有自己的整体性，结构是可以形式化的，然而一项起结构作用的活动，只能包含在一个转换体系里面进行，“结构最重要的是要成为一个若干转换的体系，不是某个静止的形式，而运算推理是起自我调节作用的。”［2］通过对哥德尔不完全性定理证明的分析，我们可以看到哥德尔具有非凡的数学能力和哲学的辩证思维素养，这使他总能创造性地发现数学结构之间的相互联系和相互隶属的关系，并成功进行系统间、关系间、概念间以及问题之间的转换与化归。

一、概念的相互隶属

数学概念是从事数学思维的工具，概念构架是数学理解的工具，是数学家用以对他所探索的世界做出理解的方法。恩格斯指出，辩证思维是“以概念本身的本性的研究为前提”［1］的。辩证思维方式不是从概念和符号的绝对对立中去思维，而是承认概念的内在矛盾性，概念之间的矛盾和关系的多层次性，从对立、差异特殊性、多样性即在对立统一中去思维。恩格斯指出:“所有的两极对立，都以对立的两极的相互作用为条件;这两极的分离和对立，只存在于它们的相互依存和联结之中，反过来说，它们的联结，只存在于它们的分离之中，它们的相互依存，只存在于它们的对立之中。”［1］

概念的辩证本质表现在概念的相互依赖、对立与统一，一个概念向另一个概念的转化，概念的永恒运动、更换。对概念的关系的准确把握是逻辑的主要内容。哥德尔对哲学与概念思辨的兴趣使哥德尔从早期对数论的关注转向逻辑。“逻辑的吸引很快就变得强而有力，这既是因为逻辑对哲学整体有明显的重要性，又是因为它承诺给出富有哲学意义的精确的概念性结果。”［3］哥德尔不完全性定理的证明导源于哥德尔对形式系统的相容性与完备性这两个概念与概念间的相互关系的辩证思考。相容性是指:一个系统中不存在一个命题与这个命题的否定在系统内都可证。完备性是指:一个系统中的所有的真命题在这个系统中都是可证的定理。有了完备性才能保证系统的所有命题不是可证的就是可反驳(否证)的，这就意味着这个形式系统对数学理论作了完全的刻画。只有既有无矛盾性又有完备性的理论体系“在理论上看”才是完美的。希尔伯特计划就是想通过有限主义的元数学方法分别证明形式系统的无矛盾性和完备性。这个计划把无矛盾性和完备性分开进行考察并预设了一个前提:即无矛盾性和完备性是可以兼得的。而哥德尔则反之，他摒弃了单极的思考方式，对无矛盾性与完备性相互隶属地进行思考，从而得出无矛盾性与完备性不可兼得的结论。这是一个非凡的转换和创新，可以说没有这种思路的根本转换就没有哥德尔不完全性定理的证明。

哥德尔洞悉了相容性与完备性矛盾。不相容的或者说有矛盾的形式系统一定是完全的，因为由一对矛盾命题能推导出任何命题来。只有已证明为无矛盾的系统才需要完全性的证明。这是对完备性与无矛盾性相互隶属的初步考察。进一步的思考可以发现从逻辑上来说以下的两种情况是对等的:由相容性推出完备性即两可和由相容性推出不完备性即两不可。哥德尔的助探原理，即对高度超穷的客观数学真理概念同可证性概念的相互对立性的洞察，使他能够在证明前肯定第二条道路的可行性和正确性。哥德尔说:“那时人们广泛认为，数学中的非有穷主义的推理，只是在能够靠有穷主义元数学来‘解释’或‘核正’的限度内，才有意义。(按:由于我的结果及尔后的工作才发觉这大抵不可能)这种见解几乎不可避免地要把非有穷主义推理从元数学中排除掉。……况且容许‘无意义’的超穷成分进入元数学，与这门科学当时盛行的概念本身并不一致。因为，按照这个概念，元数学是数学里唯一有意义的部分，要经过它，(本身无意义的)数学符号才获得意义的某种替代物，即使用规则。当然，这种观点的本质是摈弃一切种类的抽象和无穷客体，数学符号的朴实意义则是其实例。也就是说，按这种观点，意义仅仅属于谈论符号组合这类具体和有穷客体的命题。”“应当指出，我在数学形式系统中构造不可判定的数论命题的助探原理是‘高度超穷’的客观数学真理概念”［4］。形式主义者把真等同于可证，哥德尔则运用概念辩证法，能够对概念的精确意义进行思考，从而把握内容与形式、真理和可证的相互区别和联系。“人们在理性思维上总是习惯于希望通过逻辑推理来证明一切，岂知某些具有‘无限性’飞跃结构的概念系统往往越出有限逻辑推理判断的范围之外。因此，如果懂得概念思维的辩证法，也就能够较自觉地去识别并避免徒劳无功的尝试了。”［5］正是对数学真理概念和可证性概念的对立统一性以及对相容性与完备性概念间相互隶属关系的辩证思考，使哥德尔成功地构造出了真却不可判定的命题。这是完成不完全性定理证明思想的首要条件。

二、问题的嬗变

辩证思维方式擅于把握事物之间的相互联系和相互转换，始终根据情境的运动变化来改变问题的思考路径，从而寻找问题的突破口。问题的嬗变即进行问题间的转换是哥德尔辩证思维方式的重要表现。1928年9月3日，在波伦亚举行的国际数学会上，希尔伯特发表演说“数学基础问题”。在演说中他列出了四个尚未解决的问题。其中第一个问题就是分析的基本部分(或二阶函项演算)的(有穷主义)协调性证明。哥德尔证明不完全性定理是从考虑数学分析的协调性问题开始的。他认为，希尔伯特想直接证明分析的协调性是不可思议的，应该把困难分解成几个部分，以便使每一个问题都容易克服。这样他把证明一分为二，先证明数论的协调性，然后再用数论来证明分析的协调性。把直接相容性的证明转换为相对相容性的证明，这是一个成功的转化。随后，哥德尔又决定从比较容易的算术系统的协调性入手。哥德尔的不完性定理就是在证明数论的协调性问题中得出的。再后，哥德尔迅速觉察数论真理与可证性的不同，这点无论数论取如何完善的形式公理系统都成立，这样哥德尔领悟了相容性与完备性的不可兼得，转而构造不可判定命题。为此王浩指出:哥德尔不完全性定理的发现过程是一个“问题嬗变”的过程。这一连串问题的嬗变过程共可以分为五步。一是哥德尔把用有穷主义方法证明分析的一致性问题一分为二。二是他决意先攻打较为明确的相对一致性问题。三是他注意到数论中的真理在数论中不能定义。四是从真实性转而考虑(形式)可证性，他找到了不可判定命题。最后，他明白了一致性陈述本身也是不可判定的［4］。

三、系统与系统的同构转换

辩证思维方式的一个重要的特点就是系统性。系统性就是在思考问题的过程中把握问题的相关性、整体性、动态演化性、综合性。哥德尔辩证思维表现在他的系统转换意识中。哥德尔在进行不完全性定理证明中，对映射思想进行了天才地应用。根据一一对应原则，哥德尔建立两个不同系统的同构性，从而可以通过研究一个相对简单的系统来研究另一个相对复杂的系统。哥德尔在不完全性定理的证明中利用哥德尔配数法，把算术系统中的符号、公式和公式的序列都以自然数进行编码，从而把关于符号、公式的问题转化为自然数函数的理论。随后，哥德尔又通过递归函数的引进证明了所有元数学中关于表达式的结构性质的命题均可在算术系统中得到表示，这样元理论中的命题和算术系统中的命题实现了一一对应。哥德尔是这样表述自己的证明思路的:“从形式的观点看，所谓证明实际上就是公式的一个有限序列。对于元数学来说，究竟用什么东西来作为基本符号当然是没有关系的。我们不妨就用自然数来作基本符号，如此，一个公式就是一个自然数的有限序列，而一个证明便是一个有限的自然数或其序列的基本概念(命题)，从而即(至少是部分地)在对象系统本身的符号中得到表示，特别是人们可以证明‘公式’、‘证明’、‘可证公式’等都可在对象系统中加以定义。”这种一一对应与系统间的同构转换思想十分深刻。每一种映射都是一种变换，这种变换的目的是保持某些关系不变。如何通过分析去发现这种映射，这种映射如何揭示不变性的关系，这种映射如何使不变性适用于推理，这些都需要非凡的辩证思维能力和想象力。

简单性的信念一直在数学家的思维中占据重要的地位，著名的数学家冯·诺伊曼曾指出:“人们要求一个数学定理或数学理论，不仅能用简单和优美的方法对大量的先天彼此毫无联系的个别情况加以描述，并进行分类，而且也期望它在‘建筑’结构上‘优美’。……如果推理是冗长或复杂的话，那么就应该包含某种简单的一般原理，用以‘说明’各种复杂和曲折的情况，把明显的武断化为少数几条简单的指导性的推动因素，等等。”［6］数学家始终追求着更大的抽象性和简单性。不管是公理化和形式化，还是同构映射反演都反映了这种目的。哥德尔对算术形式系统的分析是从简化入手的。他力求寻找出各种使复杂事物赖以构成的原始因素。分析时力图寻找出最基本的指称，即使用一种语言进行指称的最简单的模式的某些例证。哥德尔通过分析寻找到元理论对应的简化系统即自然数算术系统，这种变换反映了哥德尔对数学世界的简单性与复杂性的对立统一关系的深入理解［7］。

四、悖论结构的转换和利用

辩证思维方式是系统性与辩证性的统一。辩证性就是把握事物的对立统一，并对具体问题进行具体分析。哥德尔的辩证思维还表现在对不可判定命题的构造中。“关于这个证明最奇怪的事情之一是，它利用了自指性悖论这些推理所讨厌的东西的根本结构，并重塑这些结构来支持自己。”［8］悖论是指逻辑矛盾，悖论对数学发展的影响十分巨大，现代逻辑许多最为深刻的成果，都从分析悖论中产生。悖论的出现常常给数学家带来消极的情绪，数学家也以消除悖论为己任。

从消除悖论的思路转到分析并利用悖论的合理结构来证明定理，这是哥德尔思想辩证性的重要表现。撒谎者悖论有着最简单的形式:“我说的这句话是谎话”。那么这句话是真话还是假话，按形式逻辑推导可知，说它是真话，则它是谎话;说它是谎话，则它本来说自己说的是谎话，因此又成了真话，所以按二值逻辑，无法判定其真假。哥德尔在对象系统内构造了这个悖论语句的类似物。即构造这样一个命题G，使其元数学的意义为“G是不能证明的”，可以把它记为G'。哥德尔指出，一旦构成了这样的命题，定理的证明就完成了。可以用反证法来证明。如果G是可以证明的，那么G为真，根据一一映射原理又可以得到G'为真，由G'的意义知道G是不能证明的，这样就推出矛盾，命题就得证。同理可以推出这个命题的否命题也不可证。这样G正是所需要的不可判定的命题。在证明中哥德尔成功地对悖论的基本思想进行了转换，但又避免了出现悖论。哥德尔指出:“这一推理过程与里查德悖论的相似之处是显然的，而且和强化了的撒谎者悖论也有一个很大的相似性。因为那个不可判定的命题［R(g，g)］所断言的正就是…［R(g，g)］是不可证明的”。对悖论思想的利用可以看出哥德尔非常善于利用否定之否定的思想，吸收事物的合理性因素，在继承的基础上创新。

数学家需要哲学。“一个采纳某种数学哲学的数学家会从中受益，这包括:一种工作倾向，对其前景的一些洞见，以及对其发展方向——哪类问题是重要的、什么疑问应该被提出、什么方法论是合理的、什么看起来能成功，等等——至少是试验性的指导。”［8］数学家需要辩证哲学。恩格斯指出“自然研究家尽管可以采取他们所愿意采取的态度，他们还是得受哲学的支配。问题只在于:他们是愿意受某种蹩脚的时髦哲学的支配，还是愿意受某种以认识思维的历史及其成为基础的理论思维形式的支配。”［1］哥德尔不完全性定理体现了数学思维的辩证性质。数学家需要辩证思维。数学家辩证思维的获得，可以通过数学家的数学实践得到启示，但这种被动的转变过程十分缓慢，因而更重要的是，数学家要主动去学习和掌握一些辩证哲学。

［1］马克思恩格斯选集(第四卷)［M］.北京:人民出版社，1995.

［2］皮亚杰.结构主义［M］.北京:商务印书馆，1984:9.

［3］［美］王浩.逻辑之旅——从哥德尔到哲学［M］.杭州:浙江大学出版社，2009:86.

［4］徐利治.数学方法论选讲［M］.武汉:华中科技大学出版社，2000:58.

［5］郑毓信.数学方法论入门［M］.杭州:浙江教育出版社，1985:98－99.

［6］［美］丽贝卡·戈德斯坦.不完备性——哥德尔的证明和悖论［M］.长沙:湖南科学技术出版社，2008:18.

［7］温邦彦.也谈正确理解哥德尔不完全性定理——与陈慕泽先生商榷［J］.重庆工学院学报:社会科学，2009(4).

［8］［美］斯图尔特·夏皮罗.数学哲学——对数学的思考［M］.上海:复旦大学出版社，2009:16.

Gödel Dialectical Thinking and Proof of Incompleteness Theorem

LIN Shi－Fang
(Department of Humanities，Fujian Medical University，Fuzhou 50008，China)

By analyzing the contex and the proven thought process about Godel incompleteness theorem，the four aspects can be revealed from Gödel dialectical way of thinking.The four aspects are the concept of mutual subordination，issue evolution，the system structure and system of the same conversion and structural conversion，and use of paradox.

Gödel;incompleteness theorem;dialectical thinking

B80－0

A

1674－8425(2011)09－0015－04

2011－02－17

林世芳(1976—)，女，福建周宁人，厦门大学哲学系博士研究生，福建医科大学人文学院讲师，研究方向:科学思想史、科学哲学。

(责任编辑 王烈琦)