电导涨落的自动图形算法及应用

万浪辉，余陨金，卫亚东

1)深圳大学物理科学与技术学院，深圳 518060;2)深圳大学计算凝聚态物理研究所，深圳 518060

电导涨落的自动图形算法及应用

万浪辉1，2，余陨金1，2，卫亚东1，2

1)深圳大学物理科学与技术学院，深圳 518060;2)深圳大学计算凝聚态物理研究所，深圳 518060

在随机矩阵理论框架下，发展了量子系统电导和自旋霍尔电导涨落的高阶效应的自动图形计算方法.计算了2端子混沌空腔中直至5阶的电导涨落的解析表达式，给出随机矩阵理论系综自旋霍尔电导涨落的一般公式，发现在通道数目较多时，对正交系综和幺正系综，自旋霍尔电导存在普适的方差1/8.

凝聚态理论;量子输运;电导;统计涨落;图形技术

电子传输的涨落行为是量子输运中的基本问题，这种涨落主要源自热噪声和散粒噪声 (shot noise)，其中散粒噪声源于电荷的量子效应，在零温时也存在.与电导相比，散粒噪声对电子-电子相互作用更敏感，通过对散粒噪声的测量，可确定与输运相关的电荷和准粒子的统计行为，考察介观系统内部电势的分布和能量标度［1］，对研究电子输运的量子噪声有重要意义.目前研究量子输运中载流子统计行为的方法主要有:散射矩阵理论［1］、随机矩阵理论 (random matrix theory，RMT)［2］、非平衡格林函数近似［3］及基于 Serberg积分的方法［4-6］等.Brouwer和 Beenakker［7］基于随机矩阵理论发展了幺正群积分的图形算法，该方法具有直观、简便的特点，不仅可用于2端子系统，还可用于多端子系统，如3端子［8］和4端子系统［9］.此外，图形算法还可用于计算自旋流涨落的统计平均［9］.

随着研究的深入，人们开始关注涨落的非线性统计性质［1，5-6］.Serberg 积分法可研究两端用理想

导线连接的混沌空腔中电导涨落的高阶统计平均，文献 ［6］给出电导涨落的4阶系综平均的解析表达式.应用图形算法研究涨落的高阶非线性统计平均时，由于图形多，很难手工计算全部图形，通常仅在通道数目很大的极限条件下进行近似计算［2，7］.本研究结合图形计算技术和Mathematica软件的符号计算功能，实现图形技术的自动计算，可用于解析计算涨落高阶统计平均.应用自动图形算法，我们研究混沌空腔中的量子输运特性，得到电导涨落的高阶非线性统计平均的解析表达式，并首次给出随机矩阵理论系综自旋霍尔电导涨落的一般公式，发现对于存在自旋流的正交系综或幺正系综，当通道数量很多时，自旋霍尔电导存在普适的方差1/8.

1 图形计算方法

为便于讨论，首先介绍图形计算技术［7］.将关于N×N幺正矩阵U的函数f(U)在幺正群U(N)上的积分看作系统平均，并表示为

为计算式 (1)积分，定义图1中的图形规则.用粗点线代表矩阵元Uab或;第1 个下标(a或α)用黑点表示;第2个下标(b或β)用白点表示;矩阵元Aij用第1个下标指向第2个下标的粗实线表示;求和下标用点与点间的实线表示.

图1 Uab、、Aij和及 δab的图形替换规则Fig.1 Substitution rules for the unitary matrices Uaband，the fixed matrix Aand the Kronecker delta ij

采用上述规则后，函数f(U)=Tr［AUBU†］可表示成图2.

图2 f(U)=Tr［AUBU†］的图形表示Fig.2 Diagrammatic representation of the function f(U)=Tr［AUBU†］

根据随机矩阵理论［10］，依据对称性的不同，系综一般可分为幺正系综 (circular unitary ensemble，CUE)、正交系综 (circular orthogonal ensemble，COE)和对偶系综 (circular symplectic ensemble，CSE).以下我们将详细叙述3种系综平均的图形计算技术.

1.1 CUE(β=2)

若时间反演被破坏，则系统的哈密顿量是幺正的，称为幺正系综，用β=2表征，其计算步骤为

①根据图1替换规则画出表达式的图形.

②将图中U和U*间相同颜色的点用细实线连接.找出所有可能的连接方式，每种连接方式对应1个图.

③将每个图中所有粗实线和细实线构成的回路 (T回路)等效为所有回路所遇到的矩阵乘积的迹.若查找回路时粗线的方向与回路的方向相反，则与该粗线对应的矩阵转置;若图中有多个T回路，则将这些T回路对应的矩阵的迹相乘.

④查找图中由虚线和细实线构成的回路 (U回路)，记每个回路中点线数目的一半为ck，则每个图中 U 回路所构成的系数Vc1，c2，…，ck相当于该图的权重.Vc1，c2，…，ck的值和计算方法见文献 ［7］.

⑤将每个图的权重乘以T回路对应的矩阵的迹，全部图形相加即得最后结果＜f(U)＞.

1.2 COE(β=1)

当系统同时具有时间反演对称性和自旋翻转对称性时，系统的哈密顿量可用正交矩阵来表示，该系统称为正交系综，用β=1表征，其计算步骤与CUE类似，不同之处在于将CUE第②步中“将图中U和U*间相同颜色的点用细实现连接”改为“将图中U和U*间的点用细实线连接”，即允许黑点和白点连接，其余不变.

1.3 CSE(β=4)

保持时间反演对称性，但自旋对称性被破坏时称为对偶系综，用β=4表征，其计算步骤为

①先构造＜f(˜U)＞，方法是分别将f(U)中的四元数矩阵的复共轭，厄米共轭和对偶换成复数矩阵的复共轭，厄米共轭和转置.并将＜f(˜U)＞中的每次求迹Tr替换为-1/2Tr.

②按COE法求＜f(˜U)＞.

③＜f(U)＞可通过将＜f(˜U)＞中的复数矩阵的复共轭、厄米共轭和对偶换成四元数矩阵的复共轭、厄米共轭和对偶;同时，将求迹Tr换为-2Tr，N换成-2N.

2 自动图形计算技术

理论上图形计算技术可用于研究涨落的高阶非线性性质，但实际上随着涨落阶数的增加，图形数量激增.表1给出了图形数量与统计量间的关系.由表1可见，对于电导的3阶系综平均，COE/CSE图形数量已达720个，手工难以计算.对于电导的高阶非线性统计平均，通常仅在通道数N很大时进行近似计算［2，7］.

表1 图形数量与统计量的关系Table 1 The relationship between the number of figures and the statistics quantity

Mathematica［11］是Wolfram公司开发的可进行符号、数值和图形运算的通用数学软件.由于图形计算技术在构造图形和寻找T回路及U回路时具有很强的规律性，因而可结合Mathematica软件的符号运算功能实现图形的自动计算.

自动图形计算方法可描述为:设输运系统电导为G/G0=Tr［AUBU†］［1，7］，其中G0=2e2/h.将该式按图1规则转换为图形后，上下各有1个黑点和白点.若求n个该类矩阵乘积的系综平均，上下就各有n个黑点和白点.为此，我们首先定义4个Mathematica 的集合:dbs=Table［db［i］，{i，1，n}］、dws=Table［dw［i］，{i，1，n}］、ubs=Table［ub［i］，{i，1，n}］和uws=Table［uw［i］，{i，1，n}］.它们分别对应图形中Uab黑点和白点的集合，U*αβ黑点和白点的集合.然后定义fixDashCons=Join［Table［{ub［i］，uw［i］}，{i，1，n}］、Table［{db［i］，dw［i］}，{i，1，n}］］、fixSolidCons=Join［Table［{ub［i］，db［i］}，{i，1，n}］，Table［{dw［i］，uw［i］}，{i，1，n}］］.其中，fixDashCons表示所有U和U*的矩阵元的集合，即图1中代表U和U*的点线集合;fixSolidCons表示所有A和B矩阵元的集合，即图1中粗实线的集合.

我们以CUE为例说明自动图形计算的步骤.

①固定图形的白点和黑点不动，按照式(1)将U*αβ黑点和白点的集合合并.

②将Uab的黑点和白点分别进行排列组合，按式 (2)和式 (3)将排列得到每个黑点的组合分别与白点的组合合并.

其中，fun［src_List］:=Join［#，src［［2］］］＆/@src［［1］］.

③将①中黑白点分别与②中每个集合中对应位置处的黑白点相连，得到所有可能图形的组合为

④将集合fixSolidCon分别与cons中的每种组合合并，寻找其中的 T回路，见式 (5)和式(6);将集合fixDashCons分别与cons中的每种组合合并，寻找其中的U回路，见式 (7)和式 (8)

其中，FindChain为寻找回路的函数，限于篇幅，本文仅介绍其思想:由于集合Tcons和Ucons中的每个元素都有两个成员{a，b}，视为a到b的1条连线，以集合的第1个元素为连线起点，反复利用连线的另一端点查找另一条连线所对应的元素，直至连线的另一端点和起点重合，记录查到的端点顺序;在查找过程中，删除每次找到的连线所对应的集合元素，找到1个T回路或U回路后，重新设置起点查找，直至集合为空.

⑤利用式 (9)和式 (10)将找到的T回路和U回路转换为表达式和权重系数，利用式 (11)将两个集合对应元素相乘相加即得到最后结果.

本研究采用Mathematica软件的非对易乘来表示矩阵的乘积.对于COE，只需将步骤②修改为将黑白点先合并后排列组合，如式 (14)

对于CSE，计算方法与COE相似，只需在最后进行相应的系数替换.

3 自动图形计算技术的应用

首先，讨论自动图形计算技术在二端子混沌空腔中的应用.设两个理想电极连接的弹道式混沌空腔系统的电导为G/G0=Tr［C1SC2S†］;(C1)ij=δij(i＜N1)，其他元素为零;C2=1-C1，Nα为α端可能的通道数.应用图形计算技术，结合Tr［Cα］=Nα，Tr［CαCβ］=δαβNα，可算出其电导和电导的方差［12-13］分别为

值得注意的是，当N1=N2时，式 (18)为零.

另外，自动图形积分技术还可用于计算多端子电导及自旋霍尔电导的统计涨落.考虑由4个理想电极连接的弹道式混沌空腔，设每个端子的通道数为Ni(i=1、2、3、4).通过调节4端的电压，使得3、4两端电流为零，但自旋流不为零.定义，其中

σμ为泡利矩阵.当μ=0时，为从导线i到导线j电流的透射几率.当μ=z时，为从i到j自旋流的透射几率.应用图形自动计算技术，结合，可得到3 端和4端自旋流透射几率的方差为

当Nj(j=1、2、3、4)很大时，式 (19)存在普适方差.当β=4时，方差为1/32，结果与文献 ［9，14］一致;当β=1、2时，同样存在普适方差1/8.

结 语

本研究发展了图形技术的自动计算方法，该方法不仅可用于计算电导涨落的非线性统计平均，且可用于计算多端子情形下电导的非线性涨落的统计平均和自旋流涨落的非线性统计平均.作者应用该方法研究了混沌空腔中的量子输运特性，得到了高阶电导涨落非线性统计平均的解析表达式，首次给出了随机矩阵理论系综自旋霍尔电导涨落的一般公式.发现对于β=1、2的系综，自旋霍尔电导存在普适的方差1/8.

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Automatic diagram calculation method and its applications for the fluctuations of conductance†

WAN Lang-hui1，2，YU Yun-jin1，2，and WEI Ya-dong1，2

1)College of Physics Science and Technology Shenzhen University Shenzhen 518060 P.R.China

2)The Institute of Computational Condensed Matter Physics，Shenzhen 518060 P.R.China

Based on random-matrix theory，an automatic diagram calculation method for the higher order fluctuations of conductance and spin-Hall conductance was developed.The conductance fluctuations were calculated analytically up to the fifth order in the quantum system of the chaotic cavity connected with two ideal leads.The general formula for spin-Hall conductance fluctuations in random-matrix theory ensemble was reported for the first time.In the limits of large channel numbers，the universal spin-hall fluctuations variance was found to be 1/8 in circular orthogonal ensemble and circular unitary ensemble.

condensed matter theory;quantum transport;electric conductance;statistics fluctuation;diagram technique

O 488;O 469

A

1000-2618(2011)04-0330-05

2011-03-21;

2011-05-06

国家自然科学基金资助项目 (10947018，11074171)

万浪辉 (1974-)，男 (汉族)，江西省南昌市人，深圳大学副教授、博士.E-mail:wanlh@szu.edu.cn

Abstract:1000-2618(2011)04-0334-EA

† This work was supported by the National Natural Science Foundation of China(10947018，11074171).

【中文责编:英 子;英文责编:雨 辰】