二次长方体有限元的一个外推

韩明华, 张杰华



二次长方体有限元的一个外推

韩明华, 张杰华

(凯里学院 教育科学学院, 贵州 凯里, 556000)

对于三维Poisson边值问题, 利用离散Green函数与Green函数, 结合三维二次积分恒等式的结论及证明技巧, 给出了均匀长方体剖分下二次长方体有限元的一个外推结果, 提高了有限元解的精度阶.

长方体; 二次元; 外推

有限元解的外推法由于能在不增加太多运算量的情况下提高收敛速度, 达到事半功倍的效果而引起了人们的极大兴趣. Richardson外推应用于椭圆偏微方程边值问题有限元法始于1978年, 并于1983年在理论研究方面取得突破性进展. 自那以后有限元外推得到迅速发展, 成为一个富于竞争的国际性研究课题. 到目前为止, 已有大量的文献和专著研究有限元外推, 这方面研究成果十分丰富. 但是, 这些文献几乎都是研究二维线性与二维高次有限元的外推[1-17]. 近年来, 随着三维有限元的超收敛结果的大量涌现[18-29], 也开始逐渐出现三维线性有限元的外推成果[30-32], 但对于三维二次、高次有限元的外推研究, 至今未见相关文献. 本文旨在研究长方体域上Poisson方程解的二次有限元逼近的外推, 应用多维离散Green函数与Green函数理论,结合文献[4, 13, 16, 31, 32]的相关研究方法及技巧, 获得了一个更高精度的超收敛结果. 本文的研究, 可作为往后进一步研究长方体高次有限元的外推、四面体二次及高次有限元等的外推的一个启蒙.

文中所用符号均与常用方式相同, 使用时不一一说明.

1 预备知识

考虑如下边值问题:

引入如下的张量积二次长方体有限元空间[13]:

显然有如下正交关系:

则运用文献[4]中引理2.2、文献[13]中引理5.8、文献[16]中命题4.4.1、文献[31]中引理3.3、文献[32]中引理3.2的证明技巧, 以及结合文献[13]中引理5.8的结论, 可有引理1.

2 离散Green函数估计

下面我们介绍几个引理[16, P266-270].

引理4 对于二次长方体有限元空间, 有:

由引理2、引理3及最佳逼近估计、先验估计, 有:

于是

证毕.

3 主要结论

有了以上准备, 下面讨论有限元解的外推．

同理, 有:

综合上两式得到外推估计:

这样, 就可以得到:

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Extrapolation of a quadratic block finite elements

HAN Ming-hua, ZHANG Jie-hua

(Institute of Educational Science, Kaili University, Kaili 556000, China)

For Poisson boundary value problems in three dimensions, using the properties of the discrete Green's function and Green's function, and combined with the conclusions and proof techniques of integral identity, a result of extrapolation for the quadratic block finite element is given under a uniform subdivision, which enhances the accuracy order of the FEM approximation solutions of Poisson equation.

block; quadratic finite element; extrapolation

10.3969/j.issn.1672-6146.2011.03.005

O 242.21

1672-6146(2011)03-0013-03

2011-07-21

凯里学院院级规划课题资助项目(z0801)

韩明华(1983-), 男, 讲师, 硕士, 主要从事基础数学理论研究. E-mail: xtsowxf2006@163.com

(责任编校: 刘晓霞)