微积分现代形式的确立与文化意义

张 晔

（天津市河东区职工大学，天津市 300170）

微积分现代形式的确立与文化意义

张 晔

（天津市河东区职工大学，天津市 300170）

微积分是人类智慧的伟大成就之一，是微分学和积分学的合称，概述了微积分这一重要数学思想从萌芽到酝酿，从诞生到发展的过程。微积分给数学注入了旺盛的生命力，它不但成为自然科学和工程技术的基础，它的产生也对其他人文学科也有着重要作用。

数学史；微积分；不可分量法；特征三角形；牛顿—莱布尼茨公式

在大学里微积分是一门重要的基础课，微积分也是任何一个学习数学的人必须闯过的第一个真正的大沙场，微积分这部无限的交响乐是由全世界众多的数学工作者用自己的血、泪、汗、才智等谱写而成的。熟悉这一学科的历史发展，了解人类的这一巨大精神财富的积累过程和历代数学家艰苦卓绝的奋斗精神，对于陶冶一个人的数学思想情操，增长与提高自己的数学意识与思维能力，形成自己的数学观，对于自身的学习与工作都将具有重要的意义。

一、微积分的诞生（17世纪后半期）

17世纪后半叶，英国的牛顿和德国的莱布尼茨以其卓越的天才首先明确地认识到求积问题和作切线问题之间的互逆关系，建立了微积分基本公式：牛顿—莱布尼茨公式，并且建立起一套系统的、强有力的无穷小算法，这使他们俩人成为微积分的缔造者。

（一）微积分奠基人——牛顿

1．牛顿的“流数术”

牛顿对微积分的研究始于1664秋，1965年夏至1967年春在家乡躲避瘟疫期间，取得了突破性进展。1965年11月发明了“正流数术”（微分法），1966年5月建立“反流数术”（积分法）同年10月将其研究成果写成《流数简论》，虽未发表，但已在同事间传阅，可称为历史上第一篇系统的微积分文献。

《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景，该文事实上以速度形式引进了“流数”（微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在《流数简论》中提出两类微积分的基本问题：

1）已知各流量间的关系，是确定它们流数之比；

2）已知一个包含一些流量的流数的方程，试求这些流量间的关系。

这显然是两个互逆问题。牛顿在《流数简论》中说“一旦反微分问题可解，许多问题都将迎刃而解。牛顿将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法—正、反流数术，亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系将这两类运算进一步统一成整体。这是牛顿超前人的功绩，正是在这样意义下，我们说牛顿发明了微积分。

2．牛顿的微积分发表

《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的，牛顿于1667年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬，但在那时起到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文，它们分别是《运用无穷多项方程的分析学》简称《分析学》，完成于1669年；《流数发和无穷参数》简称《流数法》，完成于1671年；《曲线求积数》简称《求积术》，完成于1691年。这三篇论文，反映了牛顿微积分学说的不断改进、完善、发展过程，并且可以看到，牛顿对于微积分的基础先后给出了不同的解释。在《求积术》中牛顿引进了流数记号：x·，y·，z·来表示变量x，y，z的一次流数（导数）；类似地，x··，y··，z··表示二次流数；x…，y…，z…表示三次流数。

（二）微积分奠基人——莱布尼茨

1．莱布尼茨的特征三角形

莱布尼茨在1672到1676年间，是他在数学方面的“发明创造的黄金时代”。在这期间，他与荷兰数学家、物理家、天文学家惠更斯的会晤，激起了他对数学的兴趣。开始构建微积分的主要特征，并对曲线的切线以及面积、体积等微积分问题进行研究。莱布尼茨创立微积分首先是出于对几何问题的思考，尤其是对特征三角形（微分三角形）的研究，1673年莱布尼茨提出了自己的“特征（直角）三角形”。实际上，他在关于特征三角形的研究中认识到：求曲线的切线，依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值，当这些差值变成无限小时之比；而求曲线下的面积，则依赖于无限小区间上的纵坐标之和（亦即宽度为无限小的矩形面积之和），并看到了这两类问题的互逆性。莱布尼茨在给洛必达的一封信中总结说：“求切线不过是求差，求积不过是求和”所以可以说莱布尼茨比巴罗等人“更上一层楼”。

2．莱布尼茨的微积分的发表

1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，简称《新方法》，刊登在《教师学报》上。这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。该文是莱布尼茨对自己1673年以来微积分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号dx，dy。《新方法》中明确陈述了莱布尼茨1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式。这些都表明莱布尼茨非常重视微积分的形式运算法则和公式系统。相比之下，牛顿虽然也发现并运用了这些法则，但却没有费心去陈述一般公式，他更多的兴趣是微积分的直接应用。《新方法》还包含了微分法在求极大、极小值、求拐点以及光学等方面的广泛应用。

1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。而正是在这篇论文中，积分号∫第一次出现于印刷出版物上，且对于两相邻值x，y的差，引进“dx，dy”。他引进的符号dx和∫体现了微分与积分的“差”与“和”的实质，后来获得普遍接受并沿用至今。相对而然，牛顿对符号不太讲究，他用带点字母x·，y·…表示流数（导数），用带撇字母x′y′…表示流量（积分），虽然点记号今天在某些场合仍在使用，但牛顿的积分号则是完全被淘汰了。

综上所述，牛顿和莱布尼茨研究微积分学的基础都达到了统一的目的。在他们的著作中共同建立和完善了无穷小量的经典分析，也就是完成了微积分学。但他们的方法各自不同，牛顿的数学分析的基本概念是力学概念的反映。而莱布尼茨作为哲学家和几何学家对方法本身感兴趣，他精心选择符号，注重公式系统，建立微积分法则，关心用运算公式创造出广泛意义下的微积分。总之，牛顿和莱布尼茨都是微积分的奠基者，都为构建微积分这座宏伟大厦做出了永不磨灭的贡献，二人各有千秋。因此，后人将微积分的基本公式称为“牛顿——莱布尼茨公式”，以此来纪念两人的功绩。

二、微积分现代形式的确立（19世纪）

17世纪中叶以后，分析学飞快地向前发展，18世纪达到了空前灿烂的程度，其内容的丰富，使人来不及检查和巩固这一领域的理论基础，因而遭受到种种非难，引发“数学危机”，历史要求给微积分以严格的基础，因此，数学家便开始了对微积分理论基础的重建与严格化。

19世纪出现一批杰出的数学家，积极地为微积分的奠基工作做着不懈的努力。他们是波尔查斯，柯西，魏尔斯特拉斯，戴德金等。

下面从函数概念的发展、极限理论的完成、实数理论的建立这三方面简介如下。

（一）函数概念的发展。首先由傅里叶、柯西等冲破函数的解析式，之后狄利克雷、罗巴切夫斯基用对应观点给函数下了定义，最后由黎曼给出了今天的形式。

（二）极限理论完成。捷克数学家波尔查诺，是他开始将严格的论证引入到数学分析。1850年出版的《无穷的悖论》包含了他的许多真知灼见，堪称是微积分极限理论奠基的先驱。分析学的奠基人，公认的多产数学家柯西．他在1821－1823年出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。书中给出了微积分一系列的基本概念的精确定义。如他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，将微积分建立在极限理论的基础上。但由此需要对实数作更深刻的理解，而德国数学家魏尔斯特拉斯担当了这一任务。他引进了精确的ε－σ语言给出了极限准确的描述。，可以说极限概念的历史是从动态化过渡到静态化的历史。

（三）实数论的建立。柯西用极限概念为微积分奠定了基础，在这个基础上魏尔斯特拉斯又进一步的算术化，把微积分所有的基本概念通过实数和它们的基本运算关系精确地表达出来。这样便建立起了分析基础的逻辑顺序是：实数系－极限论－微积分。但并不等于微积分的研究已到了终结，戴德金的实数理论是它的现代形式，康托尔的贡献使微积分建立在集合论上，从而给了微积分一个更坚实的基础。由于康托尔在1874年所创立的《集合论》，他的关于无穷集的理论可以说是这部无穷交响乐的高潮。

20世纪初由H．勒贝格将实函数的积分概念作了推广，提出了包罗广泛的积分理论L积分（即实变函数理论）。1966年A．鲁滨逊为无穷小概念提供逻辑基础时，提出了非标准分析。上述的两个积分的新发展都是当代数学的重大发展，微积分现在让热爱它的人们用智慧、胆略和百折不挠的精神，勤奋努力为这部无穷的交响乐谱写着更美、更壮丽的乐章。

三、微积分的文化意义

微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点。微积分是人类智慧的伟大结晶，恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。”当代数学分析权威柯朗指出：“微积分乃是一种震撼心灵的智力奋斗的结晶。”微积分的重大意义可从下面几个方面去看。

（一）对数学自身的作用

由古希腊继承下来的数学是常量的数学，是静态的数学。自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，是动态的数学。数学开始描述变化、描述运动，改变了整个数学世界的面貌。数学也由几何的时代而进入分析的时代。

微积分给数学注入了旺盛的生命力，使数学获得了极大的发展，取得了空前的繁荣。如微分方程、无穷级数、变分法等数学分支的建立，以及复变函数，微分几何的产生。严密的微积分的逻辑基础理论进一步显示了它在数学领域的普遍意义。

（二）对其他学科和工程技术的作用

微积分虽然极具抽象性，然而却有着广泛的应用。由于微积分来源于社会生活和生产实际，是从人们生活、生产过程的经验中抽象概括出来的一门学科。有了微积分，人类把握了运动的过程，微积分成了物理学的基本语言，寻求问题解答的有力工具。有了微积分就有了工业大革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化的交通工具都是微积分的直接结果。

在微积分的帮助下，牛顿发现了万有引力定律，发现了宇宙中没有哪一个角落不在这些定律所包含的范围内，强有力地证明了宇宙的数学设计。

现在化学、生物学、地理学、经济学等学科都必须同微积分打交道。

（三）对人类物质文明的影响

现代的工程技术直接影响到人们的物质生产，而工程技术的基础是数学，都离不开微积分。如今微积分不但成了自然科学和工程技术的基础，而且还渗透到人们广泛的经济、金融活动中，也就是说微积分在人文社会科学领域中也有着其广泛的应用。

（四）对人类文化的影响

如今无论是研究自然规律，还是社会规律都是离不开微积分，因为微积分是研究运动规律的科学。

现代微积分理论基础的建立是认识上的一个飞跃。极限概念揭示了变量与常量、无限与有限的辩证的对立统一关系。从极限的观点来看，无穷小量不过是极限为零的变量。即在变化过程中，它的值可以是“非零”，但它的趋向是“零”，可以无限地接近于“零”。因此，现代微积分理论的建立，一方面，消除了微积分长期以来带有的“神秘性”，使得贝克莱主教等神学信仰者对微积分的攻击彻底破产，而且在思想和方法深刻影响了近代数学的发展。这就是微积分对哲学的启示，对人类文化的启示和影响。

［1］南基洙．大学数学文化［M］．大连：大连理工大学出版社，2008．

［2］易南轩，王芝平．多元视角下的数学文化［M］．北京：科学出版社，2007．

［3］王庚．数学文化与数学教育［M］．北京：科学出版社，2004．

［4］李文林．数学史概论［M］．北京：高等教育出版社，2003．

［5］方延明．数学文化［M］．北京：清华大学出版社，2007．

［6］张顺燕．数学的源与流［M］．北京：高等教育出版社，2008．

On the Formation and Cutural Significance of Calculus

ZHANG Ye
（Tianjin Hedong District Staff and Workers University，Tianjin 300170 China）

Abs tra c t：Calculus，composed of Differential Calculus and Integral Calculus，is considered as one of the greatest works of human wisdom．This paper made a brief summary on the courses of thought of calculus from spout to birth and development．Calculus poured vitality for mathematics．The birth of Calculus not only became the foundation of natural science and technology，but also played an important role in the development of other humanities．

Key words：History of Mathematics Calculus；Method of Indivisibles；characteristic triangle；Newton－Leibniz formula

O172

A

1673－582X（2011）01－0113－04

2010－10－21

张晔（1961－），女，天津市人，天津市河东区职工大学副教授，主要从事高等数学教学与研究。