相关偏置信号调制噪声和加性噪声驱动线性系统随机共振

周玉荣，何正友

（1.西南交通大学 电气工程学院，成都 610031；2.攀枝花学院 电气信息工程学院，四川 攀枝花 617000）

近30年来，随机共振理论在研究系统、确定性驱动力和噪声三者协同作用方面取得了显著的成果。随机共振可以理解为有噪声的系统中，系统的输出信号是噪声或周期激励信号的某个参数（噪声强度、噪声相关时间、周期激励信号的幅度或频率等）的非单调函数这样一种非线性行为。随机共振理论在微弱信号检测［1］、故障诊断［2，3］和化学反应速度的控制［4］等方面得到了广泛的应用。

噪声在许多系统中往往以耦合的形式出现，包括色耦合噪声对量子态跃迁［5］、耦合神经网络［6］、混沌振子同步［7，8］等。Gora［9］用线性变换方法把相关加性噪声和乘性噪声变成不相关噪声，Jia［10］等人研究了相关高斯白噪声和高斯色噪声作用于双稳态系统的统计特性，曹力［11］等人研究了相关乘性白噪声和周期调制加性噪声驱动线性系统的随机共振现象。

在许多物理系统中，噪声与信号必须以相乘的方式作用于系统，即周期信号调制噪声［12-17］，如激光器中泵噪声受周期信号调制［12］、单自由体受突加白噪声激励［13］等。Dykman等人［14］研究了偏置信号调制噪声驱动非对称双稳态系统的随机共振现象，研究结果表明偏置信号调制噪声能更好描述和揭示这类系统的随机共振现象；Wang等人［15］研究了单模激光系统受偏置信号调制噪声作用下的随机共振现象，发现随机共振现象与噪声的相关时间和调制信号的频率有关。本文研究偏置相关信号调制噪声和白噪声作用下线性系统的随机共振现象。

1 系统模型及其输出信噪比

考虑信号调制噪声和加性噪声作用下的线性系统［9］：

其中a为系统衰减常数，α为信号A1cos（Ω1t）的偏置，Γ1（t）为乘性噪声和信号调制噪声。假设噪声Γ1（t）和Γ2（t）为均值为零、相关函数满足下式的高斯白噪声：

其中，D和P分别为噪声Γ1（t）和Γ2（t）的强度，λ为两个噪声的耦合强度。应用Cholesky分解［18］把两个相关噪声分解成两个独立噪声，则：

其中ξ（t）和η（t）为两个均值为零、不相关的高斯白噪声，其统计特性满足：

根据Cholesky方法，将耦合的两个噪声分解成两个相互独立的噪声，其中的耦合效应转移到了分解后的第二个噪声η（t）中，由式（6）可见，η（t）的噪声强度与相关噪声间的耦合强度λ有关。这种性质对应求解相关噪声的随机微分方程非常有利。根据式（3），系统（1）可以改写成：

由线性系统理论，式（8）的形式解为：

其稳态相关函数为：

当a＞5D/2时，式（10）的相关函数存在，其值为：

其中：

［19］的方法计算相关函数，得：

对式（11）两边做傅里叶变换，可以得到单边功率谱。系统输出的信噪比定义为在频率Ω1和Ω2处的信号功率谱强度与背景噪声在该信号频率处的比值，其表达式分别为：

2 讨论

图1为噪声相关强度λ取不同值时，snr1随信号调制信号偏置α变化的关系曲线，从图中可以看出，snr1随噪声相关强度增加而单调增加，当其超过一定值后便单调下降。因此，存在一个最优相关强度λ使得系统输出的信噪比到达最大值，这个结果与文献［10］得到的结果类似。另外，系统输出信噪比snr1是调制信号偏置α的非单调函数，对于给定参数α，从图1中可知当α≤0时，snr1单调增加；当α＞0时，snr1单调减小。这种现象可以从基本的放大电路理论来解释：当偏置太小，放大器的电流也小，则放大器的输出特性就不理想。另一方面，如果偏置太大，放大器处于饱和状态，同样其输出特性变坏。从图1中，通过snr1与偏置α与相关强度λ的关系曲线，可以观察到广义的随机共振现象。该结果说明，我们可以通过调节相关噪声间的耦合强度或调节信号的偏置来提高输出有用信号的幅度，从而提高输出信噪比。

图1 偏置信号调制噪声与白噪声相关强度λ取不同值时，系统输出信噪比snr1随信号偏置 α 的关系曲线 a=1，A1=0.1，A2=0.1，D=0.1，P=0.1，Ω1=0.1，Ω2=0.1Fig.1 snr1as a function of the signal bias a=1，A1=0.1，A2=0.1，D=0.1，P=0.1，Ω1=0.1，Ω2=0.1 for different values of the correlation strength λ of the signal-modulated noise and the additive noise

图2 调制信号频率Ω1取不同值时，系统输出信噪比snr1随系统衰减系数α变化的关系曲线，A1=0.1，A2=0.1，α =0.1，λ =0.1，D=0.2，P=0.1，Ω1=0.1，Ω2=0.1Fig.2 snr1as a function of the system parameter αfor A1=0.1，A2=0.1，α =0.1，λ =0.1，D=0.2，P=0.1，Ω2=0.1 for different values of the frequency Ω1

图3 调制信号频率取不同值Ω1取不同值时，系统输出信噪比snr1随信号调制噪声强度a=2，A1=0.1，A2=0.1，α =0.1，λ =0.2，P=0.1，Ω2=0.1Fig.3 snr1as a function of the signal-modulated noise intensity D for a=2，A1=0.1，A2=0.1，α =0.1，λ =0.2，P=0.1，Ω2=0.1 for different values of the frequency Ω1

图2为频率Ω1取不同值时，系统输出信噪比与系统衰减常数a的关系曲线，从图2可以看出，随a的增加snr1非单调变化。一般而言，当没有外加激励（随机力和决定力）时系统输出信噪比随a的增加而呈指数衰减，但是由于有外部随机力的出现，特别是乘性噪声Γ1（t）的引入，使系统的等效衰减参数与噪声有关。由于乘性噪声、系统、信号的协同作用，使得在噪声的作用下，系统的输出信噪比在适当的系统衰减常数下不但不会减小，反而可以得到提高，即出现对系统参数的广义随机共振现象。另外，从图2中可知，信噪比snr1随Ω1的增加而降低。故较小的输入信号频率，有利于输出信噪比的增强。

在我们讨论的线性模型中，噪声项Γ1（t）是乘性噪声和信号调制噪声，与参考文献［10］所提出的模型不同。图3为调制信号频率Ω1取不同值时，snr1随调制噪声强度D的关系曲线，从曲线上可以看出，随噪声强度D的增加，snr1出现一个最大值，然后单调减小，即传统的随机共振现象。

乘性噪声往往用来描述外部参数或边界条件波动，加性噪声起源于系统其它自由度的快速动力学过程，也可以用来描述热噪声。加性噪声对线性系统输出信噪比的分析如图4和图5所示。图4为调制信号幅度A1取不同值时，系统输出信噪比snr1随加性噪声强度P的关系曲线，从图中可以看出，snr1随加性噪声强度P的变化而非单调变化。图5为调制信号频率Ω1取不同值时，系统输出信噪比snr1随加性噪声强度P的关系曲线，同样，snr1与P成非单调关系。图4与图5的结果是参考文献［10］没有的新结果。

图4 调制信号幅度取不同值时，系统输出信噪比SNR1随加性噪声强度变化的关系曲线，a=2，A2=0.1，α =-0.25，λ =0.9，α =2，D=0.2，Ω1=0.1，Ω2=0.1Fig.4 SNR1 as a function of the additive noise strength P for a=2，A2=0.1，α =-0.25，λ =0.9，α =2，D=0.2，Ω1=0.1，Ω2=0.1 for different values of the signal amplitude A1

图5 调制信号频率取不同值时，系统输出信噪比snr1随加性噪声强度变化的关系曲线a=2，A1=0.1，A2=0.1，α =0.25，λ =0.9，D=0.2，Ω2=0.1Fig.5 snr1as a function of the additive noise strength P for a=2，A1=0.1，A2=0.1，α =0.25，λ =0.9，D=0.2，Ω2=0.1 for different values of the frequency Ω1

3 结论

通过线性系统理论，我们得到了相关调制噪声和白噪声作用下线性系统的信噪比精确表达式。通过在线性系统中引入乘性噪声、信号调制噪声，系统的输出信噪比表现出非单调行为。这是由于乘性噪声的引入，使系统参数比如衰减常数受到了噪声的作用，在一定条件下，线性系统、噪声、输入信号三者表现出了协同效应，出现了随机共振现象，噪声的一部分能力转移到了输出有用信号中，从而可以提高输出信噪比。研究表明系统输出信噪比是系统参数、信号调制噪声和白噪声强度的非单调函数，通过系统输出信噪比可知，系统出现了传统的随机共振和广义的随机共振。本文的研究结果对于传统的噪声作用下的线性系统理论、线性电路的研究有一定的理论意义。

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