标准化方法在线性代数的应用＊——用初等变换的方法求等价类的标准型

刘绪文

(潍坊工程职业学院,山东 青州 262500)

早在上世纪七十年代,钱学森就提出“要加强标准、标准化工作及其科学研究以应对现代化、国际化的发展环境”。在现代科学技术发达的今天,标准的制定和标准化的实施显得尤为重要,各行各业都在按照一定的标准实施标准化。通过标准及标准化工作,以及相关技术政策的实施,可以整合和引导社会资源,激活科技要素,推动自主创新与开放创新,加速技术积累、科技进步、成果推广、创新扩散、产业升级以及经济、社会、环境的全面、协调、可持续发展。

线性代数在一些领域的研究中,对繁纷复杂的代数问题,同样加强了标准、标准化工作及其科学的研究。对于某类研究对象给出标准型,建立等价类,利用初等变换求等价类的标准型,即标准化问题,并利用标准型研究等价类的特点和性质,从而建立线性代数的有关理论。

1 标准及标准化的定义

标准是在客观的基础上产生的科学、技术和实践经验的综合成果,它具有权威性、科学性、适用性和严肃性,有了标准也就有了统一的规定,人们在生产过程和社会活动中才有了共同遵守的准则和依据。制定、发布及实施标准的过程就是标准化。

1.1 标准

是对重复性事物和概念所做的统一规定。它以科学、技术和实践经验的综合成果为基础,经有关方面协商一致,由主管机构批准,以特定形式发布,作为共同遵守的准则和依据。该定义包含以下几个方面的含义:(l)标准的本质属性是一种“统一规定”。(2)标准制定的对象是重复性事物和概念。(3)标准产生的客观基础是“科学、技术和实践经验的综合成果”。(4)制定标准过程要具有权威性、科学性和适用性。(5)标准文件有其自己的严肃性。

1.2 标准化

为在一定的范围内获得最佳秩序,对实际的或潜在的问题制定共同的和重复使用的规则的活动,即制定、发布及实施标准的过程,称为标准化。标准化的实质与目的是通过制定、发布和实施标准,达到统一是标准化的实质。获得最佳秩序和社会效益则是标准化的目的。标准化的基本原理通常是指统一原理、简化原理、协调原理和最优化原理。

2 矩阵的标准化

设A、B是两个m×n矩阵,若对A进行一系列的行和列的初等变换化成B,称矩阵A与矩阵B等价。由于矩阵的等价满足反身性、对称性和传递性。因此所有与A等价的矩阵构成一类,叫做矩阵A的等价类。下面对几种等价类进行讨论,并给出其标准型。

2.1 矩阵等价标准型

当矩阵A为n阶可逆方阵时,A与n阶单位矩阵 En等价,即 PAQ=En。这也是矩阵A可逆的充分必要条件。

2.2 矩阵等价阶梯型

设A是任意一非零m×n矩阵,则对A进行一系列的行初等变换化成行阶梯矩阵 T。进而化为行简化阶梯矩阵。也就是说任一m×n非零矩阵A都与一行阶梯矩阵T等价。

即:存在m阶可逆矩阵P,使得 PA=T

特别的当矩阵A为n阶可逆方阵时,存在n阶可逆矩阵P,使得 PA=E。因此得到矩阵A可逆的又一充分必要条件。

由于阶梯矩阵 T的秩等于它不为零的行数,并且初等变换不改变矩阵的秩,因此与A等价的阶梯矩阵T的不为零的行数就是矩阵A的秩。可仅用行初等变换将A化为P,以此来求矩阵A的秩。

2.3 矩阵的相似标准型

设A、B是两个n阶方阵,如果存在n阶可逆方阵 P,使得 P-1A P=B,称A与B相似。当B为对角矩阵Λ时,称A可对角化,Λ为A的相似标准型。

由于矩阵的相似满足反身性、对称性和传递性。凡是与矩阵 A相似的构成一类,叫做矩阵 A的相似类。

在矩阵A的相似类中找最简形式的矩阵,看它是否为对角矩阵。对于一般矩阵 A是不能对角化的,当A有n个线性无关的特征向量时才可对角化。或对于矩阵A的每一个特征值λi,若λi的重数等于n-r (λiE-A),则矩阵A可对角化。

特别的,当A为n阶实对称矩阵时,一定存在n阶正交矩阵P,使得 P-1A P=PTA P=Λ,即矩阵A可对角化。如果A可对角化,首先求A的所有的特征值,对于每一个特征值λi,求出它的所有的特征向量,并将其标准正交化,以求得的所有对应的n个特征向量ξ1,ξ2,…,ξn为列构成一个n阶正交矩阵P,以所有的特征值λ1,λ2,…,λn为对角元构成一个n阶对角矩阵Λ。那么一定有 P-1A P=PTA P=Λ。

由于相似矩阵有相同的可逆性和相同的特征多项式,因而有相同的特征值、相同的迹和相同的行列式。如果矩阵A可对角化,相似标准型为Λ。那么这一相似类中所有矩阵的可逆性、特征值、迹和行列式都与Λ相同。特征值为Λ的对角元,迹为对角元的和,行列式为对角元的乘积。

2.4 矩阵的合同标准型

设A、B是两个n阶方阵,如果存在n阶可逆方阵 P,使得 PTA P=B,称A与B合同。当B为对角矩阵Λ时,称Λ为A的合同标准型。

由于矩阵的合同满足反身性、对称性和传递性,凡是与矩阵A合同的构成一类,叫做矩阵A合同类。显然与A合同矩阵都有相同的秩。若A为对称矩阵,且B与A合同,则B也是对称矩阵。

在矩阵A的合同类中找最简形式的矩阵,看它是否与对角矩阵合同。对于一般矩阵A是不能与对角矩阵合同的。特别的,当A为实对称矩阵时,一定存在 n阶可逆矩阵 P,使得 PTA P=Λ。即A与对角矩阵Λ合同。因为 P可逆,P可表示为初等矩阵 P1,P2,…,PS乘积,即 P=P1P2…PS,使得 PTS…PT2PT1A P1P2…PS=Λ。因此对A进行一系列的完全相同的行和列的初等变换将A化为Λ,同时仅对单位矩阵 E进行完全相同的列变换将E变为P。从而用初等变换法求出矩阵A的合同标准型Λ。

同时也一定存在 n阶正交矩阵 P,使得 P-1A P=P5A P=Λ,对角矩阵Λ中的n个对角元λ1,λ2,…,λn就是A的n个特征值。按矩阵的相似来求正交矩阵 P和对角矩阵Λ。

两个相似的方阵必等价,两个合同的矩阵必等价。反之未必。由于正交矩阵 P满足 P-1=PT,当存在n阶正交矩阵P,使得 P-1A P=PTA P=Λ时,则两个相似的方阵必正交合同,两个合同的矩阵必正交相似。

3 方程组的等价(同解方程组)

若两个线性方程组同解,则称这两个方程组等价。由于方程组的等价具有反身性、对称性和传递性,把所有同解的方程组归为一类,就叫做方程组的等价类。将方程组的等价类中最简形式的方程组称为标准型。解方程组就是求它的等价类的标准型。由于方程组的初等变换是同解变换,解方程组就是利用方程组的初等变换将其化为标准型。齐次线性方程组分为两大类:一类是仅有零解,另一类是有非零解。非齐次线性方程组分为两大类:一类是无解,另一类是有解,在有解的一类中又分为有无穷多解和唯一解两类。

3.1 齐次方程组A X=0的解

含有m个方程n个未知量的齐次线性方程组A X=0,仅对系数矩阵A进行一系列的行的初等变换化为B,则方程组A X=0与B X=0同解,或称为方程组A X=0与B X=0等价。根据齐次线性方程组有非零解的充要条件,当 r(A)=r(B)=r=n时,A X=0仅有唯一的零解;当 r(A)=r(B)=r＜n时,并且B为行简化阶梯矩阵,将BX=0的n-r个自由未知量移到等号右边得A X=0的一般解。令n-r个自由未知量分别依次取(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(1,0,…,0)得 A X=0的基础解系ξ1,ξ2,…,ξn-r,从而求出A X=0的通解。

其中k1,k2,…,kn-r为任意实数。

齐次方程组A X=0的一般解,就是同解方程组的最简形式,即齐次方程组A X=0的等价类(同解方程组)中最简方程组,也就是标准型。

3.2 非齐次线性方程组A X=β的解

其中k1,k2,…,kn-r为任意实数。

非齐次方程组A X=β的一般解,就是同解方程组的最简形式,即非齐次方程组A X=β的等价类(同解方程组)中最简方程组,也就是标准型。

4 向量组的等价标准型

若向量组α1,α2,…,αm与向量组β1,β2,…,βm可互相表示,则称这两个向量组等价。由于向量组的等价具有反身性、对称性和传递性,把所有与α1,α2,…,αm等价的向量组归为一类,就叫做向量组α1,α2,…, αm的等价类。将向量组的等价类中最简形式的向量组——极大线性无关组称为标准型。因此向量组α1, α2,…,αm与他的极大无关组αi1,αi2,…,αir等价。

由于矩阵的行初等变换不改变矩阵列向量组的秩和线性关系。因此,对以n维向量组α1,α2,…,αm为列构成的n×m矩阵A=(α1,α2,…,αm),进行一系列的行的初等变换可化为行简化阶梯矩阵B=(β1,β2,…,βm),则向量组α1,α2,…,αm与向量组β1,β2,…,βm等价。设αi1,αi2,…,αir为向量组β1,β2,…,βm的极大无关组βi1,βi2,…,βir相对应的向量组,则αi1,αi2,…,αir为α1,α2,…,αm的极大无关组。所有的与αi1, αi2,…,αir等价向量组为一类,其中αi1,αi2,…,αir是该向量组中的标准型。由于秩为 r的向量组中任意r个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组,因此向量组的极大无关组(标准型)不唯一,但是极大无关组所含向量的个数是唯一的,称为向量组的秩。以上的结论同时给出了求向量组的极大无关组和向量组的秩的方法。

一个向量组中的任一向量用极大无关组表示,其表示是唯一的;若一个向量组的秩小于向量的个数,则该向量组一定线性相关。若一个向量组的秩等于向量的个数,则该向量组一定线性无关,它的极大无关组就是它本身。

5 二次型的等价

设 f(X)=XTA X,g(Y)=YTBY是两个n元实二次型,如果存在n阶可逆矩阵 P,使得B=PTA P,即存在可逆的线性变换 X=PY,使得 f(X)=XTA X=(PY)TA(PY)=YT(PTA P)Y=YTB Y=g(Y),称 f (X)与 g(Y)等价。

由于任一实二次型 f(X)=YTA X,一定存在正交变换 X=PY,使得

即任一实对称矩阵都与对角矩阵相似,并且合同。

两个实二次型等价的充要条件,它们有相同的秩、和相同的正惯性指数。两个对称矩阵合同的充要条件,它们有相同的秩、和相同的正惯性指数。

线性代数各部分的研究,一般采取的方法是,首先给出一类研究对象及其标准型,用初等变换的方法讨论如何把研究对象化为标准型,给出具体办法,即标准化。并利用标准型研究这类对象的特点和性质,从而揭示这类研究对象的内涵和实质。以上论述是自己多年来教学经验的总结,将线性代数的研究归结为标准型和标准化的研究,这种提法仅是一家之言,目前尚未见到有关论述,是否妥当,期待还请各位专家同行进行讨论,给以指正。

[1]刘吉佑,徐诚浩.线性代数[M].河北:武汉大学出版社,2006.

[2]张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].3版.北京:高等教育出版社,1983.

[3]钱椿林.线性代数[M].2版.北京:电子工业出版社,2001.