简述一道中考题的拓展与探究

●陈明儒 (东海实验学校 浙江宁波 315800)

简述一道中考题的拓展与探究

●陈明儒 (东海实验学校 浙江宁波 315800)

图1

题目如图1，边长为1的正方形ABCD被2条与边平行的线段分割成4个小矩形，EF与GH交于点P．

(1)若 AG=AE，证明:AF=AH;

(2)若∠FAH=45°，证明:AG+AE=FH;

(3)若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．

(2009年广东省广州市数学中考试题)

1 试题评析

本题主要考查正方形、矩形、全等三角形等基础知识;考查计算能力、推理能力和空间观念;考查学生运用所学知识寻找问题关键点的能力．特别是在第(2)小题中，知道了∠FAH=45°后，利用∠HAD+∠BAF=45°打开解题思路是这个问题解决的关键所在，也是思维水平提升到更高层次的基本要素．试题不仅关注学生观察事物的能力和对数学知识层次理解的能力，也是对教学过程中学生推理演算能力的体现，具有较好的创新性．

2 试题拓展与探究

2．1 弱化条件，结论不变

对试题第(2)小题纵向拓展．

探究1若将条件放宽，如图2所示，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠FAH=∠BAD，则结论BF+HD=FH是否仍然成立?

图2

图3

图4

图5

在图5中，延长CB至点G，使得BG=DH，连结AG．由∠ABG和∠D都是∠ABC的补角，得

类似地，可以证明FH=BF+HD成立．

若将图1、图2、图3中的△FAH绕顶点A旋转至四边形外，则还可以继续探究FH，BF，HD之间的数量关系．

2．2 题设不变，探究结论

探究2对试题第(2)小题，当∠FAH=45°时，除本题的结论外，还可得到其他许多结论，可参见文献［1］．除此之外，通过探究还发现:

2．3 逆向思维，横向拓展

图6

图7

方法2(运用旋转变换)如图7，将Rt△ADH绕点A沿顺时针方向旋转90°至Rt△AMN，延长线段NM与直线 EF交于点Q，连结 NF．设正方形AGPE 的边长为 a，PH=x，PF=y，则

于是 S矩形PFCH=2S正方形AGPE．

方法3(运用基本图形)如图8，设正方形AGPE的边长为 a，EM=m，GN=n，PH=x，PF=y．由 ∠FAH=45°，即∠MAN=45°，得

由△AEM∽△HPM得

图8

2．4 从特殊到一般拓展

对试题第(3)小题，从特殊能否推到一般呢?

证明如图1，连结 GF．设 BF=x，则

3 创编探究性问题

通过逆思2可以得到命题:在矩形ABCD中，若四边形 AGPE为正方形，且∠FAH=45°，则S矩形PFCH=2S正方形AGPE．

如果将这个命题作为普通的测试题，那么图形背景太复杂，起点也高．通过进一步思考，去掉一些不必要的线段，可以使图形更简洁．同时，增设2个有层次的问题，再植入旋转背景，把静态问题变为动态的探究性问题，这样符合现行的命题趋势．现创编如下:

正方形ABCD的边长为 a，点 E，F分别在边BC，DE的延长线上，∠EAF=45．

(1)若 CE=CF，如图9，证明:

①AE=AF;

②S△CEF=a2．

(2)让∠EAF绕点A旋转一定角度，使得CE≠CF，如图10，则△CEF的面积是否发生改变．若不改变，请给出证明;若改变，求改变后的△CEF的面积．

图9

图10

综上所述，适当对问题进行拓展与探究，使学生能充分感知到知识间的内在联系，加深对知识的纵横向认识，从而开阔了学生的视野，也培养了学生的探究和创新精神．

［1］ 罗增儒．巧思妙解与数学证明［J］．中等数学，2005(3):17．