数学高考中二次函数综合题突破

●马喜军 (元济高级中学 浙江海盐 314300)

数学高考中二次函数综合题突破

●马喜军 (元济高级中学 浙江海盐 314300)

二次函数是中学代数的重要内容之一.作为一种最基本的初等函数,通过它可以研究函数的许多性质,如:单调性、奇偶性、最值等.二次函数可以与一元二次方程、一元二次不等式建立联系,其中涉及到函数与方程、等价转化、数形结合等重要的数学思想.因此,将二次函数列为高考的重点内容不为过.

1 考试要求

在《普通高中数学课程标准》中这样描述:(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;(2)结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程的根的联系;(3)通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.在浙江省新课程高考《考试说明》中明确强调了二次函数的定义、图像以及性质;运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题;渗透数形结合及等价转化等数学思想.

2 考点回顾

近几年高考对二次函数的考查还渗透到了各个知识点的衔接处,一般出现在各部分的把关题处,命题的主要亮点是“3个二次”的等价运用、导数以及解析几何等高中主体知识的有机结合.考查的重点是利用二次函数的图像与性质、等价转化相关函数的最值、方程根的分布、函数的零点以及不等式的范围等问题.

3 命题走势

数学高考对数学知识的考查注重学科的内在联系和知识的综合性;对数学思想和方法的考查注重与数学知识的考查相结合;对数学能力的考查注重创新意识,主要采用设计新颖的问题,构造有一定深度和广度的数学问题来实现.二次函数与一元二次方程及一元二次不等式之间有着密切的联系,在高中数学中应用十分广泛,并对考查学生的数学能力有重要的意义,因此以二次函数为命题背景仍将是一个热点.具体表现在:(1)在选择题、填空题中,主要考查二次函数的图像与性质;(2)以二次函数的零点、二次方程根的分布、含参的二次函数在给定区间上的最值、含参的二次不等式的解法与恒成立为触角,与三角函数、指数函数、对数函数以及幂函数等的复合运用以及导数、解析几何的交汇衔接.

4 典例剖析

4.1 数形结合型

例 1函数 y=x2-2x在区间[a,b]上的值域是[-1,3],则点(a,b)的轨迹是图 1中的 ( )

图1

A.线段 AB和线段 A D

B.线段 AB和线段 CD

C.线段 A D和线段 BC

D.线段 A C和线段 B D

解决有关二次函数的性质问题,主要突出其图像、定义域、值域、对称性、单调性等.此题主要借助函数图形的对称性:在不同的定义域上产生了相同的值域——称之为“同族函数”.

解令 y=3,即 x2-2x=3,解得 x1=3,x2=-1.因为当 x=1时,y=-1,所以当 a=-1时,1≤b≤3,即线段 AB;当 b=3时 ,-1≤a≤1,即线段 A D.故选 A.

点评在此类题型中,最重要的是借助二次函数的图像,理清变量间的对应关系.还可以将其变式为求|a-b|的最大值或者最小值.

4.2 转换变量型

例 2对于满足|a|≤2的所有实数 a,求使不等式 x2+a x+1＞2a+x恒成立的 x的取值范围.

分析在不等式中出现了 2个字母:x及 a,关键在于该把哪个字母看成变量.显然,可将 a视作自变量,则上述问题转化为在[-2,2]内关于 a的一次函数大于 0恒成立的问题.

解原不等式转化为

设 f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则 f(a)在[-2,2]上恒大于 0,因此

点评 对于多个变量问题学生一般把握不好,主要困难在于处理字母参数的先后次序安排不好.一般情况下是先利用函数性质消除 x,转化为 2个变量,然后再根据条件限制的字母是否为主元来采取转换变量、变量分离,还是分类讨论.

4.3 分离变量型

(1)求 m,n的值;

(2)当 x∈ [1,+∞)时,判断 f(x)的单调性并证明;

分析(1)略.

(2)利用定义法或导数法加以证明.

(3)如例 2中限制了字母参数范围的“3个二次”问题可以通过转换变量来加以化解,而本题限制了自变量的范围,一个比较简洁的方法就是分离变量,将含有自变量的放在一起,构造一个新的函数后再研究新函数的最值.

解(1),(2)略.

点评此类问题单刀直入,紧抓最终的目标,先简化等式或不等式的一边,然后利用函数的性质研究新函数的最值.此法也可以推广到次数更高的问题.学生面对这类题型的最大问题就是一方面在复杂的问题情境中很难将目标字母理清楚;另一方面,对于式子 2(x-1)的分析,如果 x∈ (0,4),使得式子 2(x-1)有正有负也有 0,那么就要进行分类讨论,更要关注不等号的方向.学生常见的错误就是对不等式的 2边分开讨论.当然,此题也可以用分类讨论方法解决.

4.4 知识交汇型

在很多问题背后都参杂着多个知识点,尤其是在 2个或多个知识点的交汇处构造的题目,对于学生来讲是难以把握的.一元二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式有着密切的关系,其中更是涉及到函数与方程思想、等价转化思想、数形结合思想等,因此在考题中占有绝对的主力位置.正是如此,对学生的综合能力提出了更高的要求.

例 4已知集合 A={(x,y)|y=-x2+m x-1}与集合 B={(x,y)|x+y-3=0,0≤x≤3},若A∩B为单元素集合,求实数 m的取值范围.

分析本题看似是集合中的交集运算,可以等价转化为二次函数的图像与一条线段有且仅有一个公共点,即一元二次方程在[0,3]上有且只有一个根,等价于二次函数在[0,3]上有一个零点.

解由题意知,y=-x2+m x-1与 y=3-x(0≤x≤3)有且只有一个交点,即 -x2+m x-1=3-x(0≤x≤3)有且只有一个实数根,因此 x2-(m-1)x+4=0在[0,3]内恰有一根.设 f(x)=x2-(m-1)x+4,f(x)经过定点(0,4),则

点评“3个二次”的联动是非常重要的,强调的是函数零点、方程的根以及不等式解集的端点之间的等价转化,有着严格的对应关系,且比较抽象,因此对学生的要求也特别高.

4.5 控制字母对应型

含字母参数的一元二次函数基本上都涉及分类讨论,但对于字母所处的位置采取不同的策略也是因题而异,而且要分清它们的对应关系、主次关系以及处理的先后次序.

例 5已知函数 g(x)=a x2-4x+1,对于正实数 a,总存在一个最大的正数 m,使得 g(x)在[0,m]上,|g(x)|≤3恒成立,求 m的表达式及 m的最大值.

分析本题的关键是找准切入点,把握好 x,a,m间的对应关系.而此题讨论的不是开口方向,也不是对称轴,而是根据绝对值的情况及分析顶点值与 -3的情况来控制 a的范围,影响 m的发展.

点评 由于二次函数的对称性,因此 x,a,m之间的对应关系显得重要而复杂.建立如此复杂的知识网络与等价对学生具有很高的要求,当然也是正确反映高考对学生数学素养以及数学思维品质考查的实质.

精题集粹

图2

(1)若 f(0)≥1,求实数 a的取值范围;

(2)求 f(x)的最小值.3.已知关于 x的二次方程x2+2m x+2m+1=0.

(1)若方程有 2个根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间 (1,2)内,求实数 m的取值范围;

(2)若方程 2个根均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围.

4.设 f(x)=x2+2a x,x∈ [-1,1].

(1)若 f(x)＞2a恒成立,求 a的取值范围;

(2)若 f(x)＜2a+3恒成立,求 a的取值范围.

5.设 f(x)=x2+b x+c(b,c∈ R),对任意实数α,β恒有 f(sin α)≥0,且 f(2+cos β)≤0.

(1)求证 :b+c=-1,且 c≥3;

(2)若 f(sin α)的最大值为 8,求 b,c的值.

参考答案