2011年数学高考模拟卷(六)

2011年数学高考模拟卷(六)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的.

( )

A．-1+i B.1-i C.1+i D.-1-i

2.已知命题p:∃m∈R，m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1gt;0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围是

( )

A.m≥2 B.m≤-2 C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2

3.已知直线m，n与平面α，β,给出下列3个命题：①若m∥α，n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是

( )

A．0 B．1 C．2 D．3

图1

4.已知在等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和S5等于

( )

A.30 B.45 C.90 D.186

( )

图2

6.阅读如图2所示的程序框图，若输入的N=100，则输出的结果为

( )

7.设平面α,β,γ两两互相垂直,且3个平面α,β,γ有一个公共点A,现有一个半径为1的小球与α,β,γ这3个平面均相切,则小球上任一点到点A的最近距离为

( )

8.某地为广州亚运会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1，2，…，19，20．若要从中任意选取4人再按编号大小分成2组去做一些预备服务工作，其中2个编号较小的人在一组，2个编号较大的在另一组,那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是

( )

A.16 B.21 C.24 D.90

图3

9.图3展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M；将线段AB围成一个圆，使端点A，B恰好重合(从A到B是逆时针)；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)，直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)=n.下列说法中正确命题的是

( )

C.f(x)是奇函数 D.f(x)的图像关于y轴对称

( )

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

13.已知kgt;0,函数f(x)=kx2-lnx在其定义域上有2个零点，则实数k的取值范围是________.

14.设等比数列{an}的前n项之积为Tn.若存在m∈N*，m≥2,使得amam+1=1，则对于任意的n∈N*,且m≤2m-1,等式T2m-n=Tn恒成立.请用类比的方法，写出等差数列{bn}中相应的正确命题________.

17.在直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点.若函数f(x)的图像恰好通过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数.下列函数：

其中是一阶格点函数的有________.

图4

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.甲、乙2位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图(如图4).

(1)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；

图5

(2)若将频率视为概率，对同学乙在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X，求X的分布列及数学期望EX.

19.如图5，A,B是单位圆O上的动点，且A,B分别在第一、二象限.C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形.若点A的坐标为(x,y),记∠COA=α．

(2)求|BC|2的取值范围.

20.如图6，AB为圆O的直径，点E,F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2,EF=1．

(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；

图6

(2)求直线与平面所成角的大小；

(3)当AD的长为何值时，二面角D-EF-B的大小为60°？

(1)求曲线C的方程；

(3)若λ∈[2,3]，求|PQ|的取值范围.

(1)求函数f(x)的表达式；

参考答案

14.设等差数列{bn}的前n项之和为Sn.若存在m∈N*，m≥2，使得bm+bm+1=0，则对于任意的n∈N*，且n≤2m-1,等式S2m-n=Sn恒成立.

18.解(1)本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分.由茎叶图知,甲、乙同学的成绩分别为：

甲：82 81 79 88 80

乙：85 77 83 80 85

派乙参赛比较合适，理由如下：

③若从学生得82分以上(含82分)去分析：

(2)记同学乙在一次数学竞赛中成绩高于80分为事件A，则

X可能取值为：0，1，2，3，其分布列如表1所示.

表1 X的分布列

因此

19.解由已知条件知

从而

于是

(2)由△ABC为正三角形，得

∠AOB=60°.

又由A在第一象限，B在第二象限得

因此

于是

从而

|BC|2= |OC|2+|OB|2-

2|OC|·|OB|cos∠COB=

20．(1)证明由平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB，得CB⊥平面ABEF.又AF⊂平面ABEF，得AF⊥CB.因为AB为圆O的直径，所以

AF⊥BF,

从而

AF⊥平面CBF.

由AF⊂平面ADF，得平面DAF⊥平面CBF．

(2)解根据第(1)小题的证明，可知AF⊥平面CBF，从而FB为AB在平面CBF上的射影，因此∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角.又由AB∥EF，知四边形ABEF为等腰梯形.过点F作FH⊥AB，交AB于点H,AB=2,EF=1，则

在Rt△AFB中，根据射影定理AF2=AH·AB，得AF=1，从而

得

∠ABF=30°，

即直线AB与平面CBF所成角的大小为30°．

(3)解过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连结DM．由第(1)小题的证明，知DA⊥平面ABEF，从而DM⊥EF，于是∠DMA为二面角D-FE-B的平面角，即∠DMA=60°.在Rt△AFH中，

得

又因为四边形AMFH为矩形，得

x1+1=λ(x2+1),

(1)

即

x1=λ2x2.

(3)

式(3)代入式(1)得

λ2x2+1=λx2+λ，

即

λx2(λ-1)=λ-1.

又λ≠1，得

由式(2)知，

-y1=-λy2，

(3)解由第(2)小题知

得

x1x2=1,

于是

又由y1y2gt;0，得

y1y2=4,

因为λ∈[2,3]，所以

从而

即

22．解(1)将函数y=f(x+1)的图像向右平移一个单位，得到函数y=f(x)的图像,于是函数y=f(x)的图像关于点(0,0)对称，即函数y=f(x)是奇函数，从而

f(x)=a1x3+a3x，

得

f′(x)=3a1x2+a3.

由题意得

解得

从而

经检验满足题意.

(2)由第(1)小题可得

f′(x)=x2-1.

又由x21-1，x22-1∈[-1,1]，得

解得

所以

即

于是 |f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)lt;

(供稿人：邸士荣)