简议导数在高考中的综合应用

● (绍兴市第一中学 浙江绍兴 312000)

简议导数在高考中的综合应用

●虞金龙(绍兴市第一中学 浙江绍兴 312000)

1 考试要求

了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求闭区间上函数的极值和最值；会用导数解决某些实际问题.

2 考点回顾

近几年导数综合试题主要考查以下几个方面的内容:

(1)函数、导数、不等式综合在一起解决单调性、参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式、不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解；

(2)函数、导数、方程、不等式综合在一起,解决极值、最值等问题,这类问题涉及到求极值和极值点,以及求最值,有时需要借助方程的理论解决问题；

(3)利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题；

(4)通过构造函数,以导数为工具证明不等式；

(5)利用导数研究函数的零点，可用大致图形及趋势；

(6)导数与其他方面知识的综合，利用导数求参数的取值范围等.

3 命题走势

在近几年的高考试题中，导数越来越成为考查的热点，由于导数本身具有强大的工具作用，以导数为载体的综合题已经成为了高考命题的风向标,利用导数不仅能够判断函数的单调性,研究函数的极值与最值情况,而且还能在此基础上画出函数的大致图像,得到函数图像与坐标轴的交点或2个函数交点的条件,从而为研究方程的根及函数的零点提供方便.因此笔者预测2011年以导数为背景的综合题仍将是理科的压轴题,文科仍将出现在中档题中,选择题和填空题仍然要重点关注.

4 典例剖析

类型1利用导数求解图像问题.

例1函数f(x)=x3-3x与直线y=a的图像有3个互不相同的公共点，则a的取值范围是

( )

A.-2lt;alt;2 B.alt;-2

C.agt;2 D.alt;-2或agt;2

分析由f′(x)=3x2-3=0，得x=±1.

当xlt;-1或xgt;1时，f′(x)gt;0；

当-1lt;xlt;1时，f′(x)lt;0.

因此在(-∞，-1)和(1，+∞)上，f(x)=x3-3x是增函数；在(-1，1)上，f(x)=x3-3x是减函数，由此可作出f(x)=x3-3x的草图(如图1).

图1

由图1可知，当且仅当-2lt;alt;2时，直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图像有3个互不相同的公共点.故选A．

说明考虑函数图像的交点,往往利用导数的单调性来研究函数的图像.

类型2利用导数求解切线和单调性问题.

(1)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)求f(x)的单调区间.

(2010年北京市数学高考理科试题)

分析(1)当k=2时，

f(x)=ln(1+x)-x+x2，

因此

因为

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

即

3x-2y+2ln2-3=0.

说明利用导数的几何意义求切线方程、解决与切线方程有关的问题是导数的基本考查方法,求函数的单调区间问题在高考试题中屡见不鲜.

类型3利用导数求极(最)值有关问题.

例3已知函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图像在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2009年四川省数学高考文科试题)

分析(1)由已知得切点为(2,0),从而f(2)=0,即

又f′(x)=3x2+4bx+c，由已知得

f′(2)=12+8b+c=5,

从而

8b+c+7=0.

(2)

联立式(1)，式(2)，解得

b=-1,c=1,

因此函数的解析式为

f(x)=x3-2x2+x-2.

②当mlt;1时，g′(x)=0有2个实数根

g′(x),g(x)的值的情况如表1所示.

表1 g′(x),g(x)的值

说明求函数的极值主要用到分类讨论,解题时可以通过列表来解决.

类型4利用导数公式构造函数解题.

例4函数f(x)是定义在(0，+∞)上的可导函数，且满足f(x)gt;0，xf′(x)-f(x)lt;0，则对任意正数a，b，若agt;b，则必有

( )

A．af(b)lt;bf(a) B．bf(a)lt;af(b)

C．af(a)lt;f(b) D．bf(b)lt;f(a)

即

bf(a)lt;af(b).

故选B.

说明本例由条件联想到商的导数公式,比较大小时,常常要构造函数.

例5设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f′(x),g′(x)分别为f(x),g(x)的导函数，且满足

f′(x)g(x)+f(x)g′(x)lt;0，

则当alt;xlt;b时，有

( )

A．f(x)g(b)gt;f(b)g(x)

B．f(x)g(x)gt;f(b)g(b)

C．f(x)g(a)gt;f(a)g(x)

D．f(x)g(x)gt;f(a)g(a)

分析令y=f(x)g(x)，则

y′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)lt;0，

从而y在R上单调递减.由xlt;b，可得

f(x)g(x)gt;f(b)g(b).

故选B.

说明本例由条件联想到积的导数公式,在比较大小时,常常构造相应的函数.

类型5利用导数解决实际问题.

(1)求k的值及f(x)的表达式;

(2)当隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.

(2010年湖北省数学高考理科试题)

说明本题主要考查函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.

类型6构造函数利用导数解决证明问题.

(1)若b=2，且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(2)设函数f(x)的图像C1与函数g(x)图像C2交于点P，Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M，N，证明:C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.

分析(1)alt;1.

C2在点N处的切线斜率为

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，即k1=k2,于是

则

y2-y1=lnx2-lnx1,

从而

于是r(t)在(0,1)上单调递增.从而

r(t)gt;r(1)=0,

即

这与式(1)矛盾，假设不成立，故结论成立.

说明利用反证法解题在高考中也是屡见不鲜的.当直接证明受阻时，采用反证法可培养逆向思维.2009年浙江省数学高考压轴题第(1)小题将单调改为不单调不失为命题的好方法.

精题集粹

( )

A．agt;bgt;cB．cgt;bgt;a

C．cgt;agt;bD．agt;cgt;b

( )

A.64 B.32 C.16 D.8

(2010年全国数学高考理科试题Ⅱ)

4.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点P(0,2)，且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.

(1)求函数y=f(x)的解析式；

(2)求函数y=f(x)的单调区间.

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(2)如果存在x1,x2∈[0,2]，使得g(x1)-g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

(2010年浙江省宁波市高三数学模拟试题)

参考答案

1.C 2.A 3.3

4.(1)f(x)=x3-3x2-3x+2;

5.(1)y=-x+3;

(2)最大整数M=4;

(3)a≥1.