基于时变VaR的动态套期保值策略研究

张胜杰，张敏敏

(1.上海理工大学管理学院，上海 200093;2.廊坊师范学院管理学院，河北廊坊 065000)

股票价格风险，包括非系统性风险和系统性风险.投资者可以通过组合投资消除非系统性风险，但对于系统性风险却无能为力.我国股指期货推出已有一年，为投资者提供了通过套期保值来规避系统性风险的有效工具.

对于套期保值，以往研究主要集中在两个方面:一是计算最优套保比，即基于某个风险量化指标，如方差、效用、VaR等，求其最小化的最优套保比，可用来确定套保者需要交易的期货头寸数量;二是计算套保风险，即已知套保组合的结构(即套保比)，建立模型来度量套保组合的市场风险，如VaR、CVaR等，可用来确定套保者的风险准备金.

在第一方面，国外学者提出了众多模型计算最优套保比，按照是否需要调整套保头寸分为静态模型和动态模型，各模型中确定最优套保比的目标函数主要分为三类:基于风险最小化、效用最大化、VaR最小化，其中效用最大化目标在投资者极端厌恶风险等条件下可以转化为风险最小化.这三类中静态模型的研究较为成熟，如Johnson(1960)［1］最早提出，通过OLS法估计线性回归模型，得到风险最小化的静态最优套保比，是简单常用的一种方法;Ghosh(1993)［2］在OLS模型的基础上考虑了期货、现货价格之间的协整关系，提出ECM模型，反映了变量之间的长期均衡关系和短期变化，具有更准确的估计结果.周怡(2008)［3］以VaR最小化为目标，针对我国铜期货市场，主要研究了最优静态套保比的计算问题.相比静态模型，动态模型因其复杂性主要以风险最小化为目标，如Kroner和Sultan(1993)将误差修正模型及BGARCH模型整合为协整－BGARCH模型，研究了IMM市场外汇期货的动态套保绩效;迟国泰等(2008)［4］对我国铜期货建立了DC－MSV动态套保模型，并进行了套保绩效的有效性检验.马超群等(2011)［5］研究了外汇期货的最小方差动态套保问题，发现Copula－GARCH模型的套期保值效果相对较好.

在第二方面，为了定量描述和控制风险，众学者提出过许多不同的风险度量方法.至今，VaR因其简单易读、意义明确而成为市场风险度量、控制、监管的主流指标.对VaR的估计主要有J.P.Morgan公司(1996)［6］提出的基于收益率服从正态分布的方差－协方差法，并逐渐得到业界的普遍认可;对于半参数和非参数方法，Fan(2003)［7］提出了先用半参数法估计波动率，再用参数与非参数的方法估计分位数，并对全球主要股指的VaR进行了估计;Femandez(2005)［8］用极值理论方法研究了风险管理.

可以看出，套期保值研究中存在两点不足:计算最优套保比时，静态模型的研究比较成熟，但动态模型因其复杂性，基于时变VaR的研究较少;度量现货、期货的市场风险时，着重研究单个市场、或已知套保比时套保组合的时变VaR，而其逆问题——求最优套保比和最小化的时变VaR，也缺乏这方面的研究.

本文弥补了上述不足，以时变VaR最小化为目标，建立ECM－BGARCH模型来拟合市场波动，推导出最优套保比的动态模型，根据时变的市场风险来确定时变的套保比，并同时满足每日VaR都达到最小且有效.本文动态模型的优点在于:(1)用VaR指标来度量、控制套保组合的市场风险，具有其优越性，因为VaR与套保者的风险准备金相关联，求套保比使VaR最小化，就是使套保者的风险准备金最小化，可减少资本占用成本，也更容易达到监管要求;(2)采用动态套保策略，因为市场风险是时变的，套保比是影响VaR的主要变量，也应是时变的，才能使时变VaR达到最小，因此动态套保策略具有与市场变化相一致的优点.

1 最优套保比模型

1.1 基于方差最小化的最优套保比

Johnson (1960)［1］最早在风险(方差)最小化的条件下，提出了商品期货的最优套保比的概念，并给出了最优套保比的计算公式h也可由OLS线性回归模型估计得出.其中σsf为现货、期货收益率的协方差，σff为期货收益率的方差.

1.2 基于VaR最小化的最优套保比

下文推导了基于VaR最小化的最优套保比hVaR(公式中简记为h)，并推论出hVaR是对HMV的扩展.以国内投资者最常用的空头套期保值为例，即投资者拥有现货资产，并担心现货价格下跌，则套保组合的期货合约需为空头头寸.记rs、rf:现货、期货收益率;μs、μf:现货、期货收益率的期望;σs、σf:现货、期货收益率的标准差，则套保组合收益率rh=rs－hrf的期望和标准差分别为:

其中F－1(α)为累计概率为α的逆分布函数，即r*h的左α分位数.将式(1)、(2)代入式(3)，得

可见，在置信度1－α给定的条件下，VaR是h的函数.求VaR的最小值点，需满足如下一阶、二阶条件:

由此求得，基于VaR最小化的最优套保比为

将hVaR与基于方差最小化的最优套保比hMV相比，得出以下推论.

推论1 hVaR是hMV的扩展.从式(6)可以看出，hVaR由两部分组成:第一部分为纯套保头寸hMV=，只考虑方差最小化，不考虑收益且与α无关;第二部分为投机头寸，为是对纯套保头寸hMV的调整.当μf＞0时，期货空头的投机头寸＜0，可以解释为当套保者预期期货价格上涨时，做多期货合约进行投机;当μf＜0时，同理，做空投机.投机头寸与α有关，反映了套保者的风险偏好.因此给定α后，hVaR的本质是在纯套保头寸hMV的基础上进行投机头寸的调整，以提高套保组合的期望收益率(虽然同时增加了投机风险)，从而使VaR达到最小.

推论2 方差最小化是VaR最小化的特殊情况，且在四种情况下，投机头寸为0，hVaR退化为hMV: (1)μf=0，即期货预期收益率为0，套保者认为没有投机机会;(2)α≈0或VaR的置信度1－α≈100%，即套保者极端厌恶风险，不去投机;(3)ρ=1，即现货、期货收益率完全线性相关，期货投机收益会完全被现货的损失抵消，投机对套保组合不会产生净收益;(4)σ2f≈∞，即期货市场风险巨大，厌恶风险的套保者也不去投机.

1.3 基于时变VaR的动态套保策略

式(6)求出的套保比h是静态的，代入式(4)求出的最小化VaR也是静态的，无法反映出市场风险的时变性.对式(6)、(4)中的标准差σ、相关系数ρ、期望收益率μ等进行动态拟合，得到时变的条件标准差σt、条件相关系数ρt、条件期望收益率μt等，则将静态模型扩展为更符合市场波动特性的动态模型，便得到了基于时变VaR最小化的最优动态套保比ht和最小化的时变VaRt，如式(7)、(8)所示:

其中，时变参数σt、ρt、μt等可用下面的ECM－BGARCH模型来拟合.

1.4 ECM－BGARCH模型

金融时间序列的波动通常具有聚集性、时变性，大量实证表明Bollerslev(1986)［9］提出的一元或多元GARCH模型能成功刻画这些波动特征.对于动态套期保值问题，则需建立BGARCH(二元GARCH)模型来拟合现货、期货收益率的时变二阶矩.本文考虑了现货、期货价格之间的协整关系，把误差修正模型与BGARCH模型结合起来，用现货、期货对数价格的协整回归残差et－1作为误差修正项ecmt－1，建立了对角VECH形式的ECM－BGARCH模型，对现货、期货的一阶矩、二阶矩进行动态拟合:

其中

1.5 VaR有效性检验

式(8)计算出VaR后，要通过事后的回测方法检验模型是否准确.最常用的是失效率检验法，通过回测，计算实际损失超出VaR的失效频率与α是否一致，来判断VaR模型的有效性［10］.如果失效率与α相差较大，表明模型高估或低估了实际风险.

设回测天数为T，失效天数为N，则失效率记为p=N/T.检验的零假设为H0∶p=α;备择假设为H1∶p≠α，这样失效天数N就服从一个二项式分布B(T，α).Kupiec(1995)提出了采用似然比检验法，似然比统计量LR=2ln［(1－p)T－NpN］－2ln［(1－α)T－NαN］.

零假设成立时，统计量LR近似服从自由度为1的χ2分布，在95%的置信水平下，若LR＞3.841，则拒绝零假设，认为实际失效率与α不符，VaR模型不是有效的.

1.6 套保绩效的评价指标

对于套保比模型，除了进行VaR有效性检验外，源于套保者的避险目的，还需评价模型的套保绩效HE(Hedging Effect)，大多数学者采用Ederington(1996)［11］提出的方差减小率HE，即与未进行套期保值时现货收益率的方差相比，套保组合收益率的方差减小的比率.

套保绩效HE反映了进行套期保值后资产组合风险降低的程度，HE值越大说明风险降低程度越大，经过套期保值后规避风险的能力越强，套保绩效越好.

2 样本数据说明

选取的研究变量为:沪深300现货指数(简称“现货”)的日收盘价St和沪深300股指期货(简称“期货”)的日收盘价Ft.其中，期货头寸选择与现货走势更趋一致的当月合约，为了避免到期日效应的影响，在进入交割月的第一天移仓至下月合约，则将逐月移仓展期的当月期货合约价格连接起来构成连续的期货价格序列.对St和Ft做对数变换，得到现货、期货的日对数价格ln St、ln Ft;再做差分变换，得到现货、期货的日对数收益率rs，t=△ln St、rf，t=△ln Ft.

样本数据的时间范围是:2010年4月16日(即股指期货交易首日)至2011年4月15日，样本容量为240天.本文数据来源于Wind资讯，分析工具为S－plus8.0，统计检验中默认的显著性水平为0.05.

3 实证分析

3.1 现货、期货收益率的描述统计

如表1所示，现货、期货收益率序列的统计和分布特征相似:均值接近0，略微左偏，尖峰厚尾，呈非正态分布;标准差分别为1.57%和1.72%，说明期货波动性略高于现货，这与期货市场的杠杆作用、高流动性是一致的.Q(12)是序列相关性检验的Ljung－Box Q统计量，对于现货、期货收益率都不显著，表明现货、期货收益率都不存在直到12阶的自相关性，我国股指现货与期货市场是弱式有效的.

表1 现货、期货收益率的描述统计

3.2 单位根检验

在协整检验之前，需要对现货对数价格ln St、期货对数价格ln Ft分别进行单位根检验，发现都不平稳;对其一阶差分序列(即现货、期货的对数收益率)分别进行单位根检验，都具有平稳性.检验结果如表2所示，证明现货、期货对数价格都是一阶单整序列，现货、期货收益率都是平稳序列.

表2 现货、期货对数价格的单位根检验

3.3 协整关系检验

在满足同阶单整的前提下，用Engle－Granger两步法对现货、期货对数价格ln St、ln Ft做协整关系检验.首先，建立协整回归模型，估计结果如下:

然后，对协整回归模型的残差序列进行单位根检验，检验结果如表2末行所示.ADF检验表明协整回归模型的残差序列是平稳的，证明现货、期货对数价格具有(1，1)阶协整关系，为建立误差修正模型提供了前提条件，残差序列et－1即是ECM－BGARCH模型中反映长期均衡误差的误差修正项ecmt－1.

3.4 分布的拟合与非参数检验

在最优套保比计算公式(7)中，需得到标准化套保组合收益率r*h的逆分布函数F－1(α)，本文用参数法对其分布进行拟合，并进行非参数检验.

然后，根据r*h的频数直方图(图1)和金融时间序列具有尖峰厚尾的特点，对r*h进行t分布拟合，其自由度参数n用极大似然法估计，得n^=5.3523;

最后，对拟合分布进行非参数检验，检验的原假设为H0∶r*h～t(5.3523).检验结果如表3所示，χ2统计量、K－S统计量都无法拒绝原假设;同时J－B统计量拒绝了r*h为正态分布的原假设，三种非参数检验都表明，t(5.3523)分布能较好的拟合r*h的分布特性.因此可得F－1(α)，即自由度为5.3523的t分布的左α分位数，如F－1(0.05)=－1.9861，F－1(0.025)=－2.5205，F－1(0.01)=－3.2743.

图1 标准化套保组合收益率的频数分布图

表3 标准化套保组合收益率分布的非参数检验

3.5 套保比模型估计

对ECM－BGARCH模型进行参数估计，并由估计结果得到计算动态套保比ht所需的如下序列:现货条件标准差序列σs，t、期货条件标准差序列σf，t、相关系数序列ρt和期货条件均值序列μf，t;代入式(7)中，可得动态套保比序列ht;再代入式(8)中，可得时变的最小VaR序列.

作为与动态套保策略的对比，将表1的数据代入式(6)，可得静态套保比h;再代入式(4)，可得固定的最小化VaR.

静态、动态套保策略的套保组合收益率序列rh，t与95%VaR序列的对比，如图2所示;套保绩效与VaR有效性检验的对比，如表4所示.

图2 静态套保策略的固定VaR(左)与动态套保策略的时变VaR(右)

表4 不同置信度1－α下，静态、动态套保策略的套保绩效与VaR有效性检验

3.6 套保绩效评价

从平均套保比来看，各置信度下，动态套保比ht的均值ht为0.91，静态套保比h为0.86，ht＞h，说明动态套保策略跟踪现货走势更加准确，因此需要更多的期货头寸来对冲现货风险.

从套保绩效来看，在各置信度下，动态模型的套保绩效都好于静态模型，说明本文发展的动态套保策略是有效的.当置信度1－α=95%即α=5.0%时，动态模型的套保绩效为0.8987，说明套保者采取本文发展的动态套保策略能规避我国股市89.87%的系统性风险.

从VaR来看，在各置信度下，动态模型的平均VaR更低，意味着需要更少的风险准备金，节约了套保者的资金占用成本，也更容易达到资金监管要求.不仅如此，在对VaR有效性检验中，动态模型具有更接近0的LR统计量，说明实际失效率更接近α，时变VaR更准确反映了市场异常.从图2也可以看出，静态套保策略的VaR固定不变，而动态套保策略的VaR在一定范围内波动，准确跟踪了市场风险的变化，在市场波动较小时VaR也较小，降低了套保者的风险准备金数量.

4 主要结论

本文弥补了对套期保值现有研究的两点不足，以时变VaR最小化为目标，建立ECM－BGARCH模型来拟合市场波动，推出了最优套保比hVaR的动态模型，根据时变的市场风险来确定时变的套保比，并同时满足每日VaR都达到最小且有效.将hVaR与最小方差套保比相比hMV，得出了两个重要推论:

(1)hVaR是hMV的扩展:hVaR由两部分组成:纯套保头寸和投机头寸，其本质是在纯套保头寸hMV的基础上进行投机头寸的调整，以提高套保组合的期望收益率，使VaR达到最小;

(2)在期货预期收益率为0、套保者极端厌恶风险、现货期货收益率完全线性相关、期货市场风险巨大等四种情况下，投机头寸为0，hVaR退化为hMV.

然后，文中以空头套期保值为例，对股指期货的动态套保策略进行了实证研究.与静态模型相比，动态模型体现出更好的应用效果:

(1)从套保绩效来看，在各置信度下，动态模型的套保绩效都好于静态模型，说明本文扩展的动态套保策略是有效的.当置信度1－α=95%即α=5.0%时，动态模型的套保绩效为0.8987，说明套保者采取本文发展的动态套保策略能规避我国股市89.87%的系统性风险;

(2)从VaR来看，在各置信度下，动态模型的平均VaR更低，意味着需要更少的风险准备金，节约了套保者的资金成本，也更容易达到资金监管要求;

(3)在对VaR有效性检验中，动态模型具有更接近0的LR统计量，说明实际失效率更接近α，在套保者对风险准备金管理过程中，动态套保策略计算的时变VaR更准确反映了市场异常.

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