渐开线齿轮UG参数化设计的几个关键问题

庄宿涛，孟晓军

(泰山学院建筑与机械工程系，山东泰安 271021)

参数化设计，就是以一组参数来映射产品的几何特征，通过参数的设置和程序编辑，可以快速地实现一系列形状相似的模型的重新设计［1］.齿轮机构是现代机械中应用最广泛的一种传动机构，现代齿轮机构的设计建模、有限元分析与优化以及虚拟装配技术有着广泛的工程应用背景和研究意义.目前，基于三维设计软件的渐开线齿轮的参数化设计方法中，基于结构生成历程的方法是采用较为普遍的方法，但应用该方法建模存在齿廓曲线不对称、参数丢失和无法实现参数化问题.本文在剖析齿轮原理的基础上，结合软件参数化功能，分析与解决了影响渐开线齿轮参数化设计的几个关键问题.

1 齿廓曲线构成的判断

当db＜df时，齿廓曲线全部由渐开线构成，当db＞df时，齿廓曲线由渐开线与齿根过渡曲线构成，分界齿数是以上两种情况的直接判断.

(1)标准渐开线直齿圆柱齿轮:

直齿圆柱齿轮的分界齿数为41齿.

(2)标准渐开线直齿圆柱齿轮:

斜齿圆柱齿轮分界齿数与螺旋角β有关，β常在8°～20°之间选择，根据公式可获得各螺旋角β对应的分界齿数Z，如β=15°，z=37.

(3)标准渐开线直齿圆锥齿轮:

圆锥齿轮的当量分界齿数为41齿.

2 齿廓曲线方程

2.1 渐开线方程

精确建模需要获得齿轮齿廓曲线.使用点关于直线对称的坐标计算公式实现对称渐开线的生成，可避免使用“变换”这一非参数化功能指令.

图1渐开线关于y=tanγ×x对称，γ=360°/(4×z)+inva，渐开线函数inva=tan a×180/π－a.a为压力角.

则渐开线2的方程为

此方程使用直齿圆柱齿轮与直齿圆锥齿轮，对于斜齿圆柱齿轮，应生成前、后端面齿廓.

图1 对称渐开线

图2 前后端面对称渐开线

图2中渐开线1、2关于y=tanγ×x对称，γ=360°/(4×z)+inva，at为端面压力角，渐开线函数invat=tan at×180/π－at;渐开线2、3关于y=tanγ1×x对称，γ1=γ+β1/2;渐开线3、4关于y=tanγ2×x对称，γ2=γ+β1，β1为轮齿前后端面螺旋旋转角度，β1=h×360°/P，h为齿宽，螺旋齿螺距 p= πd/tan|β|，d为分度圆直径，β为分度圆螺旋角，因斜齿轮左右旋使用β的±表示，所以β应取绝对值.利用对称性可得所有渐开线对称方程，借助投影可得前、后端面齿廓.

2.2 齿根过渡曲线方程

对于db＞df的齿轮，基圆与齿根圆之间的齿廓曲线是齿根过渡曲线，齿根过渡曲线方程［2］:

刀具圆角坐标

过渡曲线方程变量:v=(1－t)a+90t;

齿条刀具圆角半径:r0=0.3m;

刀具齿顶高系数:hac=1.25;

刀具坐标与齿轮坐标夹角:θ=(hacm－r0)/(r tan v);

r为节圆半径.

通过坐标旋转实现齿根过渡曲线与渐开线相连接，连接点C点坐标为t=0即v=a时的xt，yt:

刀具圆角坐标

刀具坐标与齿轮坐标夹角:θ1=(hacm－r0)/(r tanα).

坐标旋转后齿根过渡曲线方程:

2.3 方程参变量

为避免由于渐开线修剪出现齿廓曲线不对称和参数丢失问题，应对渐开线生成时起始、终止角度加以定量控制.

渐开线齿顶终止角度即t=1时u=b的大小:

由齿顶的压力角aa=arccos(rb/ra)得:tan2aa=(1－cos2aa)/cos2aa=r2a/r2b－1，所以渐开线终止角度b=u=tan aa×180°/π.

同理可控制渐开线起始角度a=tan ac×180°/π，ac=arccos(rb/rc).

3 锥齿轮背锥基准平面与基准坐标系

锥齿轮大端参数为标准值，因大端球面渐开线无法展开，用近似法将大端球面齿形向背锥投影研究其齿廓曲线，背锥基准平面与基准坐标系是参数化建模的关键，其正确与否直接关系到参数化建模的成败.

利用草图曲线功能生成等顶隙齿坯草图(图3)［3］.

图3 锥齿轮齿坯草图

3.1 背锥基准平面

(1)做OA与AB重合，OE与圆锥轴线重合，两者交于O点;

(2)创建草图选择创建平面选项，使用点和方向平面指令选择OA线上O点创建Ⅰ平面，在该平面沿yc做直线OF，约束其与OA在O点重合;

(3)创建草图选择创建平面选项，使用成一角度(90°)平面指令选择Ⅰ平面为平面对象，OF为线性对象创建Ⅱ平面，即为背锥基准平面，如图4所示.

3.2 背锥基准坐标系

(1)在Ⅱ平面做OG与OA成γ3=360°/(4×z)－inva，约束OG与OA在O点重合;

(2)创建草图选择创建平面选项，使用点和方向平面指令选择OG线上O点创建Ⅲ平面，在该平面沿yc做直线OH，约束其与OG在O点重合;

(3)插入基准CSYS，以OG为X轴，以OH为Y轴，O点为原点创建背锥基准坐标系，如图4所示.

图4 背锥基准平面与基准坐标系

4 结语

建立渐开线、齿根过渡曲线对称方程，精确计算方程参变量取值控制曲线起始、终止角度，通过三维设计软件表达式，借助规律曲线功能可直接生成齿廓曲线，无需进行曲线修剪、变换;以分界齿数为齿轮不同建模形式的直接判断，保证了齿轮齿廓曲线的真实性;提供了锥齿轮背锥基准平面与基准坐标系建立方法，为规律曲线的生成指定了正确的CSYS参考;齿轮参数化设计中的几个关键问题的解决，真正实现了齿轮建模的参数化驱动，大大提高模型的生成和修改的速度，在产品的系列设计、相似设计及专用CAD系统开发方面都具有较大的应用价值.

［1］周虹，仉毅.基于UG的渐开线齿轮参数化设计与实现［J］.机械设计与制造，2007，(2):78－79.

［2］李玉龙，刘焜，鲍仲辅.基于渐开线齿轮展成法的参数化精确建模［J］.现代制造工程，2006，(9):70－72.

［3］文立阁，李剑桥，侯洪生.利用UG实现圆锥齿轮参数化设计［J］.机械设计与制造，2008，(3):183－184.