两类解析函数的正规型

陈庆娥，朱恩超，刘越里

(1.天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001;2.天水市气象局)

奇点理论在分歧理论中有广泛的应用，拟齐次函数和半拟齐次函数是奇点理论中的重要函数，从而它的性质显得比较重要.文献[1]、[2]中都介绍了它们的一些概念，文献[1]给出拟齐次函数和半拟齐次函数正规型的证明，对函数的正规型进行了分类，但对半拟齐次函数正规型的证明采用牛顿多面体的方法证明，过程很复杂，并且是一个难点，本文采用文献[1]中的定理7.2证明两个有关半拟齐次函数正规型的定理.

1 基本概念与记号

定义1[1]设Cn是以x1，x2，…，xn为坐标系的空间，我们称解析函数f:(Cn，0)→(C，0)是次数为d的拟齐次函数，如果对所有的λ>0，存在αi使得f满足f(λα1x1，…，λanxn)=λdf(x1，…，xn).

记A≡E0=C[[x1，…，xn]]，设型α=(α1，…，αn)，一般地，固定型α，d不一定是整数，d与αi有关.

定义2 一个拟齐次函数称为是非退化的，如果0是f的一个孤立的临界点.

定义3 称单项式xk的次数为d，k=(k1，…，kn)，如果α1k1+…+αnkn=d.

定义4 一个幂级数(多项式)的阶是出现在这个一个幂级数(多项式)中的单项式次数的最小者.若f=0，约定f的阶为+∞.

记Ed为所有阶大于或等于d的幂级数生成的，若d'>d，则Ed'⊂Ed⊂A.

定义5 称函数f是半拟奇次的，如果f可表示为f=f0+f'的形式，而且(1)f0是阶为d的非退化多项式，(2)f'的阶大于d.此时也称f是以f0为拟齐次部分的半拟奇次函数.

定理1[1]设f是以f0为拟齐次部分的半拟奇次函数，且f=f0+f'，则f～f0+∑ckek，其中ck是常数，ek的次数大于d，即f0是d次拟齐次的，[ek]是E0/J(f0)的基元素，～表示右等价.

符号Jxi，yjf表示由xi，yj确定的f的d-jet.

文中涉及到的其它概念与记号参见文献[1-2].

2 主要内容及证明

下面定理2，3文献[1]已经给出了证明方法，下面我们用定理1来证明它们，本文提供的方法比文献[1]的方法更简单易懂.

定理2 若jx3y，y3p+3f=x3y+y3p+3p≥1，则f～

x3y+y3p+3+bxy2p+3，其中b=b0+…+bp-1yp-1.

令f=f0+f'，

其中

f0=x3y+y3p+3，f'∈Ed'，d'>1，

因为

即f0的次数为1，所以f是以f0为拟齐次部分的半拟齐次函数.

J(f0)=(x2y，x3+(3p+3)y3p+2)则

x2y∈J(f0)，x3+(3p+3)y3p+2∈J(f0)，

x2y3p+2∈J(f0)，x5+(3p+3)x2y3p+2∈J(f0)，

x3y+(3p+3)y3p+3∈J(f0)，y3p+3∈J(f0)，

故xi∈J(f0)，i≥5;yj∈J(f0)，j≥3p+3，

xiyj∈J(f0)，i≥2，j≥1，

对任意F∈E0，设F=∑αkikjxkiykj，

令F=φ1+φ2+α1x+α2x2+α3x3+

φ1中x次数≥5，φ2中y的次数≥3p+3，则φ1，φ2∈J(f0)，对于x，x2，x3项，它们的次数都

由于x4+(3p+3)xy3p+2∈J(f0)，

故[x4]可由[(3p+3)xy3p+2]线性表示，

对于xyi项，次数为

即f～x3y+y3p+3+bxy2p+3，

其中b=b0+…+bp-1yp-1.

定理3 若jx4，xy3k+2f=x4+xy3k+2，则

f～x4+xy3k+2+αx2y2k+2+by4k+3，

其中

α=α0+…+αk-2yk-2，

b=b0+…+b2k-1y2k-1.

得x4的次数为1，又由于

则xy3k+2的次数也为1.

令f=f0+f'，其中

f0=x4+xy3k+2，f'∈Ed'，d'>1，

由定理1，我们首先考虑E0/J(f0)的基元素.

J(f0)=(4x3+y3k+2，(3k+2)xy3k+1)=
(4x3+y3k+2，xy3k+1)

由于4x3+y3k+2∈J(f0)，xy3k+1∈J(f0)，则

4x4+xy3k+2∈J(f0)，xy3k+2∈J(f0)，

即4x4∈J(f0)，x4∈J(f0)，由于

x3y3k+1∈J(f0)，4x3y3k+1+y6k+3∈J(f0)，

故y6k+3∈J(f0)，对任意F∈E0，

设F=∑αkikjxkiykj，

φ1中x次数≥4，φ2中y的次数≥6k+3，则φ1，φ2∈J(f0)，由于x，x2，x3的次数都

4x3+y3k+2∈J(f0)，

则4x3yp+y3k+2+p∈J(f0)，故[x3yp]可由[y3k+2+p]线性表示，对于xyi项，次数为

对于yl项，次数为

即l≥4k+3对于x2yj项，次数为

即j≥2k+2，故f～f0+∑ckek，ek的次数>1，

其中f0=x4+xy3k+2，即

f～x4+xy3k+2+αx2y2k+2+by4k+3，

其中

α=α0+…+αk-2yk-2，
b=b0+…+b2k-1y2k-1.

参考文献：

[1]V.I.Arnol d.Singularity Theory [M].Mathematical Society Lecture Note Series.London:London University Press，1981.

[2]施恩伟.流形上的微积分[M].北京:科学出版社，2004.

[3]V.I.Arnol d.Normal forms of functions in a neighbourhood of a degenerate critical point [J].Russian Math.Surveys，1974，29(2):10-50.

[4]李养成.光滑映射的奇点理论[M].北京:科学出版社，2002.

[5]I.Newton.The method of fluxions[M]. Mathematical papers.Cambridge:Cambridge University Press，1969.