一个q-级数不等式

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(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

0 引言

q-级数,也称为基本的超几何学级数,它在许多领域有着非常重要的作用,比如:数论,群论,根系,李代数及物理学中的量子群表示等.由于其重要性,到目前为止建立了许多的q-级数恒等式[1-3].但是有些q-级数其和不易求得,故运用其他方法来研究q-级数是有意义的.在文[4]中,Wang使用不等式技巧研究了一个q-级数,获得了关于q-级数的一个新的不等式,即

成立,其中

当a=q时,上述不等式成立(关于[gi(x,a);q]∞(i=1,2)定义见下节).

本文受此启发,获得了关于q-级数的一个新的不等式,拓展了文[4]的结果.

1 主要引理

为得到本文的主要结果,在本节我们先给出下列定义,引理及其证明.

定义1 如果g(x)是[0,1]上的一个函数,我们定义

[g(x);q]n=(1-g(q0))(1-g(q1))…(1-g(qn-1))

[g(x);q]∞=(1-g(q0))(1-g(q1))…(1-g(qn))…

若g(x)=ax,则有 [g(x);q]n=(1-a)(1-aq)…(1-aqn-1)=(a;q)n.

引理1[4]如果0

令

下证h1(t)<0.

由于

又令

g(t)=(1+2q)t2-3t+3(1-q)，

因为

则

Δ=9-12(1+2q)(1-q)=3[8q2-4q-1]<0,

故g(t)>0,从而h1(t)<0.再证h1(t)>-3.

由于 3t>(1+2q)t2,通过变形有

-(1-q)t2-3(1-q)+3t(1-qt)>-3(1-q),

则

下证h2(t)<0.由于

令

k(t)=[3q2+(1-q)2]t2-3(1+q2)t+3.

Δ=9(1+q2)2-12[3q2+(1-q)2]=9(1-q2)2-12(1-q)2<0,

再证h2(t)>-4,事实上

又显然

[3q2+(1-q)2]t2-3(1+q2)t<0,

故有

[3q2+(1-q)2]t2-3(1+q2)t+3-4(1-q)2<0.

通过变形有

2 主要结果

(1)

对此不等式重复用n-1次,可得

R(a,z)≤[f1(x,a);q]nR(aqn,z),n=1,2,…

令n→∞,则qn→0.故由引理2我们有

R(a,z)≤[f1(x,a);q]∞R(0,z)

(2)

再利用引理1,可得

对上述不等式重复用n-1次,可得

R(a,z)≥[f2(x,a);q]nR(aqn,z),n=1,2,…

令n→∞,则由引理3,得

R(a,z)≥[f2(x,a);q]∞R(0,z)

(3)

结合(2),(3)有

[f2(x,a);q]∞R(0,z)≤R(a,z)≤[f1(x,a);q]∞R(0,z)

(4)

由引理2与引理3,易得 0<[f1(x,a);q]∞<1,0<[f2(x,a);q]∞<1.

令a=q,再次结合(3),(4)两式得到下面不等式,

(5)

结合(4),(5)得

即

推论1 在定理1的条件下,我们有

其中

证明

(6)

(7)

于是由(1),(6)和(7)式得

[1]Hardy G H,Littlewood J E,Polya G.Inequalities[M].Cambridge: Cambridge University Press,1952.

[2]Gasper G.Lecture Notes for an Introductory Minicourse onq-Series[M].New York: Spring-Verlag.1995.

[3]Gasper G,Rahman M.Basic Hypergeometric Series,Encyclopedia of Mathematics and Its Applications[M].Cambridge: Cambridge University Press,1990.

[4]Wang M J.An Inequality about q-series[J].J Inequal Pure and Appl Math,2006,7(4): 1-7.