关于不定方程4x2-py2=1

管训贵

(泰州师范高等专科学校 数理系，江苏 泰州 225300)

1 引言及主要结论

方程:

4x2-py2=1，p为奇素数

(1)

是一类基本而又重要的二次不定方程，它的求解问题目前只解决了一些特殊情形.比如，当x是一个完全平方数时，曹珍富[1]证明了方程:

4x4-py2=1，p为奇素数

除p=3，x=y=1和p=7，x=2，y=3外，无其它的正整数解.

本文运用初等数论方法结合文献[2-6]，证明了以下一般性的结果：

定理1 设m为大于1的正奇数，若奇素数p=m2-2，则方程(1)的全部正整数解为:

(2)

其中k为正整数.

定理2 设m为正奇数，若奇素数p=m2+2，则方程(1)的全部正整数解为:

(3)

其中k为正整数.

定理3 若奇素数p≡1,5(mod 8)，则方程(1)无正整数解.

2 关键性引理

引理1[7]若D是一个非平方的正整数，则Pell方程:

x2-Dy2=1

(4)

有无限多组正整数解，设x=x0,y=y0是方程(4)的基本解，则方程(4)的全部正整数解由:

表出，其中n是任意正整数.

引理2[8]设m,n为正整数，若D=(mn)2±2n，则方程(4)的基本解为:

3 定理的证明

先证定理1.

(i)若n=2k(k为正整数)，则:

(5)

(ii)若n=2k-1(k为正整数)，则:

(6)

类似可证定理2.下证定理3.

方程(1)可化为:

(2x-1)(2x+1)=py2.

由于(2x-1,2x+1)=1，p是一个奇素数，故上式给出:

(7)

其中y1,y2均为奇数，且(y1,y2)=1.由方程组(7)的前两式可得:

(8)

若p≡1(mod 8)，则由式(8)得0≡2(mod 8)，矛盾.定理3得证.

最后值得指出，设m为正奇数，若奇素数p=m2±2，则p≡3,7(mod 8).但本文作者没有完全解决这两种情形，将在今后对这一问题继续进行探讨.

[1] 曹珍富.丢番图方程引论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1989：20-21.

[2] 管训贵.Catalan方程xn+1=y2的正整数解[J].北京教育学院学报：自然科学版，2010，5(1)：1-3.

[3] 管训贵.关于不定方程x2+(p-1)y2=pz2[J].河北北方学院学报：自然科学版，2010，26(1)：12-14.

[4] 管训贵.关于Pell方程x2-5py2=-1[J].西安文理学院学报：自然科学版，2010，13(3)：32-33.

[5] 管训贵.关于Diophantine方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)[J].湖北民族学院学报：自然科学版，2010，28(2)：147-149.

[6] 管训贵.关于不定方程4x2n-py2=1[J].湖北民族学院学报：自然科学版，2010，28(3)：341-343.

[7] 柯召，孙琦.谈谈不定方程[M].上海：上海教育出版社，1980：18-22.

[8] 高显文.几类Pell方程最小解的计算公式[J].昭通师范高等专科学校学报，2003(5)：1-4.