二阶曲线射影分类方法探讨

宋占奎

（湖北十堰职业技术学院，湖北十堰 442000）

二阶曲线射影分类方法探讨

宋占奎

（湖北十堰职业技术学院，湖北十堰 442000）

判别二阶曲线射影分类方法有自极三角形法、选点法、主子式法、配方法和初等变换法。五种方法可把任给一条二阶曲线的方程化为标准形式，再判断它的类型。它们各有所长，可根据实际要求选择使用。

二阶曲线；射影变换；虚曲线；标准形式

0 引 言

当数学由常量进入变量时，以描述客观现象为数量特征的函数就成为一种有力的“工具”。关于函数的获得可以说是渠道不同方法各异。这里仅对二阶曲线射影分类方法进行探讨。

射影平面上的二阶曲线及对偶地二阶曲线分为以下五类[1]：

1 自极三角形法

自极三角形法就是选择一个自极三角形作为坐标三角形,将二阶曲线化成标准形式之后再分类的方法。如果作射影变换取某个自极三角形为坐标三角形,则二阶曲线的方程可以化成只含平方项，从而可判断它属于哪一类,再适当选择单位点,方程可化成标准形式[2]。

可得到两个独立的非零解，即得到奇异点P（2,1,0）和Q（2,0,-1）。另外，不在二阶曲线上任取一点R（0,0,1），以自极三角形PQR为坐标三角形。新旧坐标之间的变换由下式确定：

2 选点法

二次曲线的类型是由秩和虚或实曲线决定的。因为常态二阶虚曲线上无实点，所以对秩为3的二阶曲线，如果能在它上面找到一个实点，则该曲线是秩为3的实曲线；对于秩为2的二阶曲线有唯一奇异点且是实点，则它是秩为2的虚曲线。

3 主子式法

如果二阶曲线的秩为2，可由系数矩阵D是否是秩为2的半正定或半负定来确定它的类型。在高等代数中，一个实对称矩阵为半正定的充要条件是它的一切主子式≥0，半负定的充要条件是它的奇数阶主子式≤0，偶数阶主子式≥0。

利用主子式判别二阶曲线类型的方法比较简便，但与选点法一样，不能看出射影变换关系，如果要写出射影变换关系，除了使用自极三角形法外，还可利用配方法和初等变换法。

4 配方法

[例5]化二阶曲线为标准方程。

5 初等变换法

在高等代数中可用矩阵的初等变换把二次型化

为标准形式，这个方法也可用来化简二阶曲线。

6 结束语

二阶曲线射影分类方法有自极三角形法、选点法、主子式法、配方法、初等变换法，这五种方法各有所长，可根据实际问题的要求选择使用。对于非退化的二阶曲线，必存在自极三角形，故利用自极三角形法较为方便。如果能在它上面找到一个实点，则利用选点法较为方便。而主子式判别二阶曲线类型的方法也较简便，但不能看出射影变换关系，如果要写出射影变换关系，除使用自极三角形法外，在原式的左边没有平方项时，要先作非异的射影变换，再利用配方法。而初等变换法则适用于上述任何情况，但对高阶矩阵来说运算量较大。

[1]钟集.高等几何[M].北京:高等教育出版社，1983:121.

[2]梅向明，刘增贤，林向岩.高等几何[M].北京:高等教育出版社，1985:187.

[3]方德植，陈奕培.射影几何[M].北京:高等教育出版社，1983:167.

[4]朱德祥.高等几何[M].北京:高等教育出版社，1983:111.

[5]陈启旭，王大淦，林达坚，等.高等几何[M].福州:福建人民出版社，1983:225.

Discussion on Classification of Second Curve Projective

SONG Zhankui
（Hubei Shiyan Vocational & Technical College, Shiyan, 442000, China）

The way of judging the classification of the second curve projective is the method of self-pole triangle, selected points, mastering type, completing square and elementary transformation. The five methods can transform any equation of the second curve to the standard form, and then judge its type. Each of these methods has advantages, and can be used according to the practical condition.

Second curve; Projective transform; Virtual curve; Standard form

O185.1

A

1671-4326（2011）03-0049-04

2011-05-17

宋占奎（1947—），男，陕西大荔人，湖北十堰职业技术学院教授.

席高文]