具有指数度数的时滞混沌系统的脉冲指数稳定性

丁皓明

(阿坝师范高等专科学校数学系，四川郫县 611741)

具有指数度数的时滞混沌系统的脉冲指数稳定性

丁皓明

(阿坝师范高等专科学校数学系，四川郫县 611741)

利用Lyapunov稳定性定理和线性矩阵不等式，构造适当的Lyapunov-Krasovskii函数，得到了具有指数度数的多时滞混沌系统脉冲同步的充分条件，改进了已有的相关结果.

时滞混沌系统；脉冲指数；Lyapunov稳定性定理；线性矩阵不等式；Lyapunov-Krasovskii函数

在混沌系统同步性问题研究中，人们总是期望发送和接收信号能达到完全同步.然而，在通讯安全系统中发送与接收信号之间总存在误差.因此，发送和接受系统之间的误差系统的稳定性就成了近年来研究的热点.文献[1-2]利用非光滑Lyapunov-Like函数得出了含有脉冲及脉冲滞后的发送与接收系统同步的条件.文献[3]利用Lyapunov-krasovskii函数与线性矩阵不等式来研究误差系统的稳定性，获得了接受系统与发送系统脉冲同步的条件.本文对文献[3]的系统进行了改进变换，研究了当文献[3]中的发送与接收系统带有指数度数时，误差时滞系统的脉冲指数稳定性，改进了文献[3]的结论.

1 系统的描述与准备

考虑下面带有反馈的混沌系统

此处，x(.)∈Rn是状态向量，u(.)∈Rn是控制回馈输入向量，A,B∈Rn×n是常数矩阵，f1,f2∈Rn是非线性连续函数，并且保证解存在唯一.r>0是时滞常数.

假设系统（1）满足的初始条件为：

其中ϕ(t)在[t0−r,t0]上连续有界.

假设系统有不稳定的固定点，或者是不稳定的周期轨道x%(t)，并且x%(t)是连续的混沌解.反馈控制的目的是为了保障x%(t)渐近收敛.这里控制是标准的反馈控制方法，控制输入向量是：

其中K在此处是控制器可调矩阵的系数.

混沌系统（1）接收端的表达式为：

在混沌系统（1）和（3）应用如下的转换：

其中α>0是常数.

系统（4）满足的初始条件为：

其中ϕ(t)在[t0−r,t0]上连续有界.

系统（6）满足的初始条件是：

将变换（4）代入（1）的控制系统可得：

2 主要引理

在给出主要结论之前，先引入两个引理.

引理1 对于向量a,b∈R和对称正定矩阵Q，有 2ab≤aQa+bQb.

引理2①见: Gu K. An integral inequality in the stability problem of time-delay systems [C]// Proceeding of 39th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, 2000: 2805-2810.对任意的正定矩阵N∈Rn×n，存在γ>0以及向量函数ω: [0 ,γ]→Rn，有：

3 主要结论

则误差系统（14）的零解是指数稳定的，即混度系统（8）和（9）是脉冲指数同步的，它们的指数稳定度为α.其中，

应用引理1和（13），可以得到：

4 结束语

混沌系统的脉冲同步性在通讯安全系统中有很广泛的应用.本文应用schur补和指数稳定性定义对混沌系统同步问题进行理论分析，避免了复杂的 Lyapunov指数计算，得到了差信号系统的指数稳定性条件.满足此条件，发送和接收系统就会达到混沌同步.

[1]Guan Z H, Chan C W, Leung Y T, et al. Robust Stabilization of Singular-impulsive-delayed Systems with non-linear Perturbations [J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 2001, 48(8): 1011-1019.

[2]Khadra A, Liu X Z, Shen X. Impulsively synchronizing chaotic systems with delay and applications to secure communication [J]. Automatica , 2005, 41: 1491-1502.

[3]丁皓明. 一类多时滞混沌系统的脉冲同步问题的研究[J]. 中国科技信息, 2009, 24: 37-39.

[4]Boyd S, Ghaoui E L, Feron E, et al. Linear Matrix Inequalities In System and Control Theory [M]. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1994: 19-21.

[5]Kolmanovskii V, Myshkis A. Introduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations [M]. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1999: 527.

Impulsive Exponential Stabilization of Time-delay Chaotic System with Exponential Degree

DING Haoming
(Department of Mathematics, Aba Teacher’s College, Pixian, China 611741)

Appropriate Lyapunov-Krasovskii function was constructed by applying the Lyapunov stability theory and linear matrix inequalities. Some sufficient conditions of multiple time-delay chaotic system’s impulsive synchronization with exponential degree were given to improve the results of the relevant documents.

Time-delay Chaotic System; Impulsive Exponent; Lyapunov Stability Theory; Linear Matrix Inequality; Lyapunov-Krasovskii Function

(编辑：王一芳)

O29

A

1674-3563(2011)01-0024-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.01.004 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2010-06-13

丁皓明(1978- )，女，回族，四川金川人，助教，硕士，研究方向：微分方程的稳定性