＊ 半空间中重调和方程组的Liouville型定理

张亚静,郭雅平

(山西大学数学科学学院,山西太原 030006)

＊半空间中重调和方程组的Liouville型定理

张亚静,郭雅平

(山西大学数学科学学院,山西太原 030006)

考虑半空间中具有Navier边界条件的重调和方程组,文章结合积分不等式使用移动平面法证明了一个新的Liouville型定理.

正解;Liouville型定理;移动平面法

本文考虑下面重调和方程组

与全空间的情形相比,研究半空间中重调和方程组Liouville型定理的文献较少.我们将使用积分形式的移动平面法来研究问题(1)正解的不存在性,这种思想源于 Terracini,见文献[1-2].后来Damascelli和Gladiali,Guo和Liu,Guo,Liu和本文第一作者分别在文[3-5]中做了进一步的推广.

本文主要结论如下:

(i)f,g在[0,+∞)上是非减的且局部Lip schtiz连续;

(ii)f(0)=g(0)=0,当0≤s≤t≤m时,0≤f(t)-f(s)≤L(m)(t-s),0≤g(t)-g(s)≤L(m)(t-s),且当m→0时,L(m)→0.

若‖u‖L∞＜ ∞,‖Δu‖L∞＜ ∞,‖v‖L∞＜ ∞,及‖Δv‖L∞＜ ∞,我们称(u,v)为(1)的一个有界正解.

本文将在第1节给出证明定理1所需的一些引理,在第2节证明定理1.

1 预备知识与记号

证 采用反证法证明w=-Δu≥0.假设w(p)=-ε＜0,引入函数u的球面平均

2 定理1的证明

下面我们证明定理1.采用反证法.假设Λ＜ + ∞.设S={λ:λ＞0,u≤uλ,v≤vλ,x∈∑λ}.显然S为(0,∞)中的闭集,由引理3得S是非空的,接下来证明S是开集.设λ∈S且λn→λ,我们要证明当n充分大时,λn∈S.类似于引理2的证明可知

[1] Terracini S.Symmetry Properties of Positive Solutions to Some Elliptic Equations with Nonlinear Boundary Conditions[J].Diff Int Eqs,1995,8:1911-1922.

[2] Terracini S.On Positive Entire Solutions to a Class Equations with a Singular Coefficient and Criticalexponent[J].A dv Diff Eqs,1996,1:241-264.

[3] Damascelli L,Gladiali F.Some Nonexistence Results for Positive Solutions of Elliptic Equations in Unbounded Domains[J].Rev Mat Lberoamericana,2004,20:67-86.

[4] Guo Y X,Liu JQ.Liouville Type Theo rem s for Polyharmonicequations in RNand in RN+[J].The Royal Society of Edinburgh Proc A,2008,138:339-359.

[5] Guo Y X,Liu J Q,Zhang Y J.Nonexistence of Positive Solutions for Polyharmonic System sin RN[J].Adv Nonlinear Stud,2007,7:381-402.

[6] Dancer E N.Some Notes on the Method of Movingplanes[J].Bull Austral Math Soc,1992,46:40-64.

Liouville Type Theorem for Biharmonic Systems in the Half Space

ZHANG Ya-jing,GUO Ya-ping
(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan030006,China)

Consider the biharmonic system with Navier boundary value condition,we obtain a new Liouville type theorem for the system by the method of moving p lanes with integral inequalities.

positive solution;Liouville type theorem;moving p lanes

O175

A

0253-2395(2011)01-0032-04＊

2010-09-25;

2010-10-20

国家自然科学基金(10701051);山西省自然科学基金(2009011008);山西省高等学校优秀青年学术带头人支持计划

张亚静(1973-),男,山西沁水人,博士,副教授,主要从事非线性分析与非线性偏微分方程的研究.E-mail:zhangyj@sxu.edu.cn