周期复合材料振荡系数双曲问题的Galerkin多尺度有限元方法

孙艳萍， 宋士仓

(1.河南工程学院 数理科学系，河南 郑州 451191; 2. 郑州大学 数学系，河南 郑州 450052)

许多科学和工程中的实际问题都有多尺度解，最典型的例子是具有细小微结构复合材料问题.一方面，由于数值计算需要巨大的计算存储空间和CPU工作时间，我们很难直接得到带有多尺度解问题的数值模型；另一方面，在实际应用当中，预测多尺度解时常常很难达到较高的精度.因此，各种多尺度方法和均匀化方法[1]逐渐发展起来，文献[2]中给出了求解带有小周期系数的椭圆混合边值问题的高低阶耦合双尺度有限元方法，并给出了逼近误差分析.文献[3-5]提出的多尺度有限元方法提供了获得粗糙网格上解的大尺度结构的有效方式，这种方法在计算上有很多优点，对粗糙网格问题的求解更实用.

下面利用多尺度有限元方法求解周期复合材料振荡系数双曲问题.

(1)

1 算法构造和主要结果

(2)

(1)的弱形式为： 求uε∈W=

使得

(3)

使得

(4)

(5)

(6)

定理设uε(x,t)是问题(1)的原始解，

(7)

(8)

整理可得:

将上式中的t改为τ，然后关于τ在(0，t)⊂(0，T)上积分，考虑到eε的初边值条件和a(.,.)的强制性，由Poincare不等式和带权的Cauchy不等式可得:

再次利用带权的Cauchy不等式和Gronwall不等式可得:

从而可得:

由下一节的引理1，引理6即得结论成立.

2 几个引理的详细证明

由文献(2)可知，问题(1)的均匀化问题为：

(9)

利用(6)中的结论，我们知道问题(1)的渐近展开解为：

u*(x，t)=u0(x，y，t)+εu1(x，y，t)+ε2u2(x，y，t)=

(10)

其中,u0(x，y，t)=u(x，t)为问题(1)的均匀化问题(10)的解，Nkl(y)满足如下方程：

(11)

同样,可以假设上述问题的解具有如下展开式：

(12)

其中,uI1(x，t)满足

(13)

uI0(x，t)满足问题：

(14)

θIε(x，t)满足问题：

(15)

利用uI1(x，t)的定义可知

uI0(x，t)=∏hu0x∈K

(16)

(17)

类似的有

(18)

对上面两式右端前三项逐项进行分析，有如下引理2、3、4、5.

引理2 若u0(x,t),uI0(x,t)分别是问题(10)和(15)的解，则:

(19)

(20)

证明由(3)及插值定理，可以直接得到

引理3 若u1(x,t),uI1(x,t)分别满足(10)和(13)，则:

(21)

(22)

引理4 若θε(x,t)满足问题：

证明我们记Ωδ={x∈Ω,dist(x,∂Ω)≥δ},并给出截断函数ζ(x)，满足

则在R2中， 0≤ζ(x)≤1;在Ω中，|ζ(x)|≤从而

将上式中的t改为τ，然后关于τ在(0,t)∈(0,T)上积分，考虑到θε的初边值条件和a(.,.)的强制性，并利用带权的Cauchy不等式可得:

(23)

(24)

由类似引理1的推导过程可得:

(25)

(26)

(27)

(28)

引理5 若θIε(x,t)是问题(15)的解，则

证明首先注意到问题(15)等价于下述问题：

(29)

类似引理4的证明，可得:

(30)

从而平行于(26)，(27)，(28)可得:

(31)

(32)

(33)

由(30), (31),(32),(33)可得:

所以

证明因为多尺度有限元空间是协调有限元空间，所以

再由引理2～5，可知引理6成立.

参考文献：

[1] DOINA C, PATRIZIA D. An Introduction to Homogenization[M]. New York: Oxford University Press, 1999.

[2] CHEN J R, CUI J Z. Two-scale FEM for Elliptic Mixed Boundary Value Problems with Small Periodic Coefficients[J]. J. Comp. Math, 2001, 19(5): 549-560.

[3] CHEN Z M, THOMAS Y H. A Mixed Multiscale Finite Element Method for Elliptic Problems with Oscillating Coefficients[J]. Math. of Comp.,2002, 72(241): 541-576.

[4] THOMAS Y H, WU X H, CAI Z Q. Convergence of a Multi-scale Finite Element Method for Elliptic Problems with Rapidly Oscillating Coefficients[J]. Math. of Comp.,1999, 68(227): 913-943.

[5] EFENDIEV Y R, THOMAS Y H, WU X H. The Convergence of Nonconforming Multi-scale Finite Element Methods[J]. SIAM J.Numer. Anal.,2002,37(2000):65-176, 888-910.

[6] 孙涛，宋士仓.小周期复合材料波传播问题的一个多尺度渐近展开及其收敛性分析[J]. 工程数学学报，2009, 26(1):159-162.