人血液介电谱Cole-Cole数学模型的解析

王 力 马 青 陈 林 宫 宇 丰明俊

(宁波大学医学院，宁波 315211)

引言

生物电磁频谱特性是生物电磁学研究的基本问题［1］，随着医学电阻抗成像技术的发展，对人体组织电磁特性的研究也成为生物医学工程领域关注的热点之一。血液是人体较易获得的组织，它包括血细胞和血浆，主要完成运输氧气和营养物质的作用，了解血液的电学频谱特性可以帮助我们认识电磁场的生物效应的机理以及电磁成像所需的频谱基础数据，具有重要的理论意义和潜在的应用价值。在人血液频谱特性研究方面，相关学者研究了1～500 MHz频段243例健康人红细胞介电特性［2］，温度和细胞比容对射频段人全血细胞介电谱的影响［3－5］，人血液电频谱特性［6－7］以及利用阻抗谱方法观察人红细胞聚集特性［8－9］等。但是，利用 Cole－Cole方程的数值计算，对人血液介电谱、Cole－Cole图、电导率虚部频谱、介电损耗因子频谱和损耗角正切频谱等五个图谱进行综合的曲线拟合研究报道较少。本研究在分析人血液介电谱的数据特征基础上［10］，应用 Cole－Cole 数学方程对上述五个图谱进行了曲线拟合，确定了 Cole－Cole模型参数，为进一步观察疾病状态下(如:贫血、红细胞增多症)血液细胞介电性质变化，提供可借鉴的分析方法。

1 材料与方法

1.1 血液采集

30例受试者为宁波市城区的干部、工人、公司职员等，其中男性21例，女性9例，共计70例血液样本;平均年龄57.5岁(43～72岁)。受试者为无心、脑血管病史的健康成年人，于早晨8～9时空腹抽取肘静脉血3～5 mL，加肝素抗凝，待阻抗测量。

1.2 阻抗测量

采用Agilent 4294A阻抗分析仪(Agilent公司，日本)，在104～108Hz、频率范围取128个频率点，设定每个频率点自动循环扫描测量3次，交流驱动信号源电压500 mV、电流20 mA。测量池用504胶粘合透明有机玻璃管与铂金片构成的平行板电容器型Pt电极，电极圆盘直径13 mm，电极间距10.4 mm，容积约1.38 mL。在25℃经过KCl标准溶液校正，测量池常数 CO=0.097 pF、杂散电容 C1=3.13 pF。采用C－G并联模式测量128个频率的血样电容C和电导G，为克服在高频段测量电极产生的电感效应，对实测数据(C，G)进行了校正:

角频率 ω=2πf，电极自感系数 L=1.26 nH，根据 ε=Cs/Co和κ=(εν/Co)Gs转换成不同频率的介电常数ε和电导率κ，真空介电常数εv=8.854 pF/m。测量室温为(25±1)℃。每个血样测量时间 ＜1 min。

1.3 血细胞压积测量

将阻抗测量后的血样加入血细胞比积管(长度75 mm，外径1.5 mm)，经 SH120微量血液离心机，12000 r/min，5 min离心，测量全血原液柱长L和离心后红色血细胞柱长 l，血细胞压积 =(l/L)×100%，30例人血液样本的血细胞压积为41.68%±5.19%。

2 Cole－Cole方程及其曲线拟合的残差分析

2.1 两项式Cole-Cole方程

生物细胞介电频谱可以采用 Cole－Cole方程表征［11］:

式中复介电常数 ε*= ε － jκ/(ωεv)= ε′－ jε″，ε、κ分别是介电常数和电导率，j、εv分别是虚部单位和真空介电常数，ω是角频率，f是测量频率，εh是高频极限介电常数，Δε1、Δε2分别是第 1、第 2 弛豫的介电增量，β1、β2是第1、第2弛豫分布系数(0＜β＜1)，κl是低频极限电导率，ε′、ε″是介电常数的实数部和虚数部:

采用表1的拟合参数对人血液介电行为进行了曲线拟合分析。在104Hz～108Hz范围，建立了人血液介电频谱的数学模型参数。

表1 Cole-Cole方程的曲线拟合数值Tab.1 Fitting valuesfortheparametersofCole-Cole equation

2.2 人血液细胞介电频谱曲线拟合的误差分析

采用残差分析方法对图1～图3曲线拟合程度进行评价。

在文献［12］基础上，对相对残差(relative residual error)稍作修改，定义为

其中，obs为观测数值，theory为理论数值。在104～108Hz范围，采用表1参数对人血液介电频谱曲线拟合的残差分析结果见表2。

3 结果

3.1 人血液介电谱及其理论拟合

表2 在104～108Hz频率范围，人血液介电频谱Cole-Cole方程曲线拟合的残差值Tab.2 The residual error of curve fitting for dielectric spectra of human blood with Cole-Cole equation at the frequency range of 104～108Hz

图1表示血液样本的血细胞悬浮液的介电谱，横坐标为外加交流电场频率f，纵坐标:左侧是介电常数ε，用三角点线表示，右侧是电导率κ，表示成方形点线，实线表示 Cole－Cole公式计算的理论曲线，工字线是标准差。随频率增加，介电常数ε逐渐减小，电导率κ逐渐增加的频率谱特征称为介电弛豫曲线(dielectric dispersion curve)。从图1看出，在频率104～105Hz的低频段，当电磁场作用于细胞外相时，血液中的细胞对低频电场具有高绝缘性和低导电性的电容阻碍作用，介电常数低频极限量εl表现为高值，电导率低频极限量 κl表现为低值，即 κl和εl反映细胞外血浆的低导电性和高绝缘性;在f=105～107Hz的中频段，由于细胞膜上固有偶极子的变化速率低于电场变化速率，当外施电场频率增加时，介电常数由高值向低值变化(εL→εh)和电导率由低值向高值变化(κl→κh)的 β介电弛豫特征，β色散谱能够从宏观上反映细胞膜极化电荷的微观变化以及细胞膜的容抗特性随电场频率的变化规律［13］，即细胞膜的电容性充、放电的介电弛豫过程;在频率f＞107Hz的高频段，介电常数高频极限量εh为低值，电导率高频极限量κh为高值，说明血液对高频电场具有低绝缘性和高导电性的容性短路特性，电磁场作用于细胞内部，由此反映出高频段参数可以代表细胞内相信息，即 κh和 εh反映细胞内血红蛋白的导电性和绝缘性。由于低频段的电极极化(electrode polarization)存在，低频段介电常数的理论曲线未能完全吻合，产生了介电常数残差R(ε)=0.39%大于电导率残差 R(κ)=0.13%，但是，R(ε)小于 0.50% 。

图1 人血液介电常数和电导率的频率依赖曲线Fig.1 The frequency dependence of permittivity and conductivity of human blood

3.2 人血液复数平面图及其理论拟合

复数平面图以实验数据的实部(ε’，κ’)为横坐标，虚部［ε″=(κ － κl)/ωεv，κ″=(ε － εh)ωεv］为纵坐标，又称Cole－Cole图(图2)。

图2 人血液复数平面图。(a)介电常数;(b)电导率Fig.2 The complex plots of human blood.(a)the permittivity;(b)the conductivity

图2(a)表示人血液介电常数的复数平面图。图中隐含着频率参数，当频率从低向高增加时，呈现出从右向左的半圆曲线特征。半圆曲线交横坐标的左截距是高频极限介电常数εh，曲线圆弧的右截距是低频极限介电常数介电增量 Δε=εl－εh= Δε1+ Δε2=7100，大于大鼠［14］和小鼠［15］血液。圆弧最高点的频率是第一特征频率fC1=500 kHz，低于大鼠［14］和小鼠［15］血液，此时曲线拟合的残差R(ε″)=0.23% ，产生在低频段。

图2(b)代表人血液电导率的实部κ′与虚部 κ″的关系曲线，称复数电导率κ*的复数平面图。在0.01～100 MHz频段，曲线由左向右形成半圆弧特征。曲线圆弧最高点的频率为第二特征频率fC2=2.7 MHz，小于大鼠［14］和小鼠［15］血液。圆弧曲线交横坐标的左截距是低频极限电导率 κl=4.15 mS/cm，小于大鼠［14］和小鼠［15］血液。圆弧曲线交横坐标的右截距是高频极限电导率κh。在高频段引起R(κ″)=1.85% 。

3.3 人血液的 ε″、κ″和tgδ频谱及其理论拟合

图3(a)是人血液介电损耗因子ε″频谱。曲线表现单峰特点，主峰频率对应的第一中心特征频率fC1，其峰值为介电损耗峰值，发生在 105Hz ～ 106Hz频率段。图3(b)表示人全血电导率虚部 κ″=(ε－εh)ωεv与频率的关系曲线，呈单峰型，峰顶对应的频率点为第二中心特征频率 fC2，其峰值产生在106～107Hz频段。

图3 人血液 ε″，κ″，tgδ 频谱。(a)介电损耗因子;(b)电导率虚部;(c)损耗角正切Fig.3 The ε″，κ″and tgδ of human blood.(a)the loss factor;(b)the imaginary part of the conductivity;(c)the loss tangent

图3(c)表示人血液介电损耗角正切 tgδ=ε″/ε′与电场频率的关系曲线，又称介电损耗角正切频率谱。曲线接近正态分布，曲线主峰 tg δmax位于107Hz～108高频段，表明人血液介电损耗角正切最大值发生在107Hz以上的高频段。

4 讨论

血液细胞电特性包括时域的和频域的电特性:1)血细胞时域电特性主要指血细胞的跨膜电位和离子电流随时间变化的现象。细胞跨膜电位可通过微电极测量，此方法具有损伤性;跨膜离子电流通过膜片钳技术［16］测量，由于血细胞中红细胞占了99%，其形态较小(直径为6～8 μm)，而膜片钳记录电极尖端为1 μm，如采用全细胞模式记录(在电极尖端吸破细胞膜，记录全细胞膜离子电流)，也具有损伤细胞的缺点。故微电极技术和膜片钳技术，不太适合于血液细胞电特性研究。2)血细胞频域电特性研究，利用血细胞不产生动作电位(主动响应)的特点，使用非损伤性的细胞外电极，将变频交流电场施加于血液，由于血液细胞属于不均匀的电介质，细胞膜将细胞外血浆与细胞内血红蛋白分开，构成具有不同电特性(介电常数和电导率)的细胞外相－细胞膜相－细胞内相的三相两界面(细胞外液－细胞膜界面、细胞膜－细胞质界面)结构。当外加电场作用于细胞时，界面限制电荷的转移导致电荷积累，在两种电特性不相同的介质间发生了界面极化现象，称为 Maxwell－Wagner 效应［17］，此效应在交流电磁场作用于生物细胞时普遍存在。通过交流阻抗方法测量被动极化的血细胞介电频谱的弛豫曲线，结合Cole－Cole数学模型的非线性数值计算来获取血液细胞的频域电特性(如:介电常数、电导率和特征频率等)是研究细胞被动电特性的常用方法。

4.1 全血细胞介电谱

血液细胞在外加交流电场的激励下，随着电场频率的增加，其介电常数逐渐减小和电导率逐渐增加的介电弛豫的频率谱特征构成了血细胞介电谱。由于血液细胞膜是由脂质和蛋白质为主体构成的，具有近乎绝缘的电性质，在104～108Hz范围，血液介电行为表现为β弛豫散射。在外交流电场作用下，电荷移至并储存在细胞和细胞液(细胞外液、细胞内液)的相界面，破坏了原有的双电层而形成新的电荷的非均匀分布，这种电荷不对称构造正好像两个平行电极板间夹着电介质物质的电容器，这一特性引起了血液细胞在低频时呈现高阻抗、低导通的电容阻断状态，经过中频段的细胞膜充放电，向高频的低阻抗、高导通的容性短路状态的弛豫变化过程。此过程采用两项式 Cole－Cole方程的模拟仿真，具有两个亚弛豫分布系数(β1和 β2)、两个亚弛豫介电增量(Δε1和 Δε2)、两个亚弛豫散射特征频率(fC1和fC2)。由此可见，β色散谱能够从宏观反映细胞膜的极化电荷的微观变化情况。

4.2 人血液复数平面图

图2中，理论曲线与实验曲线的拟合程度极高，表明两项式Cole－Cole方程仿真参数设定的合理性，其主要原因在于:1)当交流电场作用在血浆与细胞膜的界面时，电荷积累的极化过程表现为第一个特征性圆弧，在圆弧最高处频率点是第一特征频率fC1，反映此交界面的介电弛豫的中心特征频率，见图2(a)所示;2)当交流电场作用在细胞膜与细胞内血红蛋白的交界面时，产生的极化弛豫过程表现为第二个圆弧特征，圆弧曲线最高处频率点是第二特征频率fC2，反映细胞膜相与细胞内相弛豫的中心特征频率(图2b)。在104～108Hz范围的血液细胞介电谱具有两个亚弛豫色散，表现出两个中心特征频率。通过绘制Cole－Cole复平面图，能够比较直观的得出血液细胞的中心特征频率。中心特征频率(fC1、fC2)是细胞对交流电磁场响应的标志性参数，也是细胞频域电生理特性的特色性指标，具有重要的生理学意义和学术价值。

4.3 血液细胞的 ε″、κ″和 tgδ 频谱

血液细胞的 ε″频谱、κ″频谱和 tgδ频谱均呈单峰状。图3a的ε″频谱反映当外加电场频率等于血液感应偶极子的最大介电吸收频率fC1时，偶极损耗达到最大值形成介电损耗峰，它主要产生在细胞外相－细胞膜相的交界面，fC1表征此界面的频率响应特性。图3b的峰值频率反映细胞膜相－细胞内相界面的频响特性。δ是介电损耗角，它表征介质损耗的能量与其贮存能量之比，通常以介质损耗角正切 tgδ=ε″/ε表示。从图3c得出血液细胞 tg δ频谱峰值 tg δmax发生在高频段。

通过对以上五幅图进行的数值拟合和综合分析得出:血液细胞介电弛豫效应满足 Cole－Cole公式;经过曲线拟合建立的Cole－Cole介电参数(表1)能够反映血液细胞对交变电场介电响应的数据特征，可以反映出血液细胞的频域被动电生理学特征。

5 结论

本研究通过两项式 Cole－Cole数学方程的非线性数值计算，对10 kHz～100 MHz人血细胞悬浮液介电弛豫进行了曲线拟合的残差分析，结论如下:1)人血液细胞介电行为可以利用 Cole－Cole数学方程，通过介电频谱、Cole－Cole图、介电损耗因子频谱、电导率虚部频谱及损耗角正切频谱等5个频谱进行综合分析，且曲线拟合程度良好，总拟合残差＜3%。2)经过曲线拟合建立的 Cole－Cole介电参数能够反映人全血对交变电场介电响应的规律和血液细胞频域电生理学数据特征，具有重要的生理意义。可进一步探讨镰状细胞贫血(sickle cell anemia)、缺铁性贫血(iron deficiency anemia)、遗传性溶血性贫血(hereditary hemolytic anemia)、红细胞增多症(polycythemia)的血液细胞频域电特性变化，为临床诊断应用提供理论基础。

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