浅谈函数奇偶性的教学体会

◆陈舟帆

(汕头高级技工学校)

浅谈函数奇偶性的教学体会

◆陈舟帆

(汕头高级技工学校)

函数的奇偶性是函数的重要性质之一。本文主要探讨函数的奇偶性的定义、性质,函数按奇偶性的分类,奇偶函数的图像特征以及几个常见的判别函数的奇偶性的错例分析。

奇函数 偶函数 函数奇偶性

一、深刻理解函数奇偶性的定义

函数的奇偶性的定义如下:

(1)一般地,如果对于函数 f(x)在定义域内的任一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)叫做偶函数。

(2)一般地,如果对于函数 f(x)在定义域内的任一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数。

学习这个定义要紧紧抓住两个要点:(1)函数的定义中的 x是任一个值。(2)都有 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x))

在讲课中,我特别注意强调 x是任一个而不是某一个,而不少同学经常要用具体的某一个值来判断函数的奇偶性,正是对定义缺乏深刻的理解。而定义中的都有 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x)),表示对于任意的 x都成立,即上面的式子是一个恒等式,而不是对于部分 x成立。

应该特别注意的是,仅仅简单地记住这个定义的两个要点是远远不够的,因为,函数的奇偶性的定义包含着更深刻的内涵:

(一)定义中涉及的求 f(x),f(-x),这里应该强调的是:f(x)与 f(-x)必须同时有意义。因此,可以得出下面的结论,函数 f(x)是奇函数 (或偶函数)的必要条件是函数的定义域必须是关于原点对称的数集 (原点可在也可不在定义域内)。下面,让我们总结一下常见的关于原点对称和关于原点不对称的数集。

在讲课中,我通过对常见的关于原点对称和关于原点不对称的数集进行总结,使同学们很快就能根据数集的形式来判断函数的定义域是否是关于原点对称的数集,从而进一步判断出函数的奇偶性。

(二)函数的奇偶性是整个定义域内的性质,仅在定义域内的一个真子集中讨论函数的奇偶性是没有意义的。这一点和研究函数的单调性的方法不同。

因此,只有深刻地理解函数的奇偶性的定义的内涵,才能正确地判断函数的奇偶性。

二、关于函数奇偶性的几个重要性质

根据函数的奇偶性的定义,我们可以系统地总结出函数的奇偶性的几个重要性质:

(1)对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称。

(2)整体性:函数的奇偶性是整体性质,对定义域内的任意一个 x都必须成立。

(3)可逆性:①f(-x)=f(x)⇔ f(x)是奇函数

②f(-x)=-f(x)⇔f(x)是偶函数

(4)等价性:①f(-x)=f(x)⇔ f(-x)-f(x)=0

②f(-x)=-f(-x)⇔f(-x)+f(x)=0

(5)图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称。偶函数的图像关于 y轴对称。

三、如何判断一个函数的奇偶性

根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性有两个步骤。首先应判断函数的定义域是否是关于原点对称的数集,其次是验证 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x))对于定义域中的任意 x是否成立。两个条件中尤以第一个条件最为重要,因为如果不能满足第一个条件,即使第二个条件成立也不能判断函数的奇偶性。不少同学在判断函数的奇偶性时经常只依据第二个条件是否成立来进行判断,因而产生了错误。

根据判断函数的奇偶性的两个条件,我们可以把函数按奇偶性分为:(1)奇函数;(2)偶函数;(3)非奇非偶函数;(4)既是奇函数也是偶函数四种类型。下面,我们根据各种题型举行举例分析。

上述几个例子都是根据判断函数的奇偶性的两个步骤来判断函数的奇偶性的,它属于比较简单的题目,属于基本的题型。但有的题目较复杂,例如:

由上面的例子可知,若函数的表达式较复杂时,一定要对式子的特点进行分析才得出恒等式是否成立的结论,必要时应对表达式先进行化简,再根据定义进行判断。

另外,判断函数的奇偶性也可以根据它的图像的对称性进行判断。如果函数的图像关于原点对称,则该函数一定是奇函数,如果函数的图像关于 y轴对称,则该函数一定是偶函数。反之,若函数的图像关于原点或 y轴不对称,则该函数一定是非奇非偶函数。

四、几个判断函数奇偶性例子的错解分析

分析:上述解题结论正确,过程错误。因为 f(x)与 f(-x)不能同时有意义。因此,正确的解法是,只有判断函数的定义域关于原点不对称,就可以直接得出结论,而不用验证 f(-x)=f(x)(或 f(-x)=-f(x))是否成立。

分析:上述解题过程是错误的。很明显,解题过程中没有考虑 f(x)的定义域是否是关于原点对称的数集。实际上,f(x)的定义域是关于原点不对称的数集,因此,f(x)=x2是非奇非偶函数。这道题也可以从它图像的对称性进行判断。

总之,只要深刻地理解函数的奇偶性的定义,那么,判断函数的奇偶性就不难了。

[1]陆利标.中学数学教与学.奇偶性的误区——忽视定义域.2007.

[2]韩忠月.高中数学教与学.高一数学测试题,2007.

[3]全国中等职业技术学校通用教材.