九点圆定理的高维推广

周永国, 张松英

(1.沅陵一中,湖南怀化 419600; 2.中方中学,湖南怀化 418000)

九点圆定理的高维推广

周永国1, 张松英2

(1.沅陵一中,湖南怀化 419600; 2.中方中学,湖南怀化 418000)

给出并证明了九点圆定理的高维推广.

n维空间; 有限点集; 超球面.

1 引 言

1821年,法国数学家庞斯莱 (Poncelet)提出并证明了如下命题.

九点圆定理[1]在三角形中,以它的外心与垂心连线的中点为圆心,外接圆半径的一半为半径的圆,必通过9个特殊点,即:3个顶点与垂心连线的中点, 3条边的中点,以及3条高的垂足.

1863年,法国数学家普鲁海 (Prouhet)将这个命题推广到垂心四面体中,得到了:

十二点球定理[2]在四面体中,4个顶点与垂心连线的1:2分点 (即靠近顶点的一个三等分点),4个面的重心,以及4条高的垂足,共12个点在同一个球面上.

本文应用向量方法,拟将九点圆定理推广到 n维欧氏空间的“共超球面有限点集”中.为此,我们约定:

(1)若点集Ω={A1,A2,…,AN}中的点都在同一个 n维超球面上,则点集Ω称为共超球有限点集,这个超球面称为点集Ω的外接超球面,其球心称为点集Ω的外心.

(2)从点集Ω={A1,A2,…,AN}(N≥3)中任意除去一个点Aj(1≤j≤N),其余(N-1)个点组成的集合,称为点集Ω的最大真子集,记作Ωj.

(3)以点O为球心,R为半径的超球面记作S(O, R).

显然,超球内接多胞形的顶点集 (及其子集)是共超球有限点集.

2 定义与定理证明

定义1 设共超球有限点集Ω={A1,A2,…,AN}的外接超球面为S(O,R),若点 P满足

其中 k∈N＊,则点 P称为点集Ω的k号心.

若点Qj(1≤j≤N)满足

则点Qj称为点集Ω的最大真子集Ωj的k+1号心.

定义2 以Ω的k+1号心Q为球心,R/(k+1)为半径的超球面称为点集Ω的k+1号超球面,记作S(Q, R/(k+1)).

根据上述定义,我们有

定理1 设共超球有限点集Ω={A1,A2,…,AN}的外接超球面为S(O,R),其 k号心为P,点 Mj内分线段AjP成则Ω的k+1号超球面S(Q, R/(k+1))必通过诸分点 Mj(j=1,2,…,N).

证明 依题设,P是Ω的k号心,所以等式(1.1)成立.于是,注意到点Mj内分线段AjP成1,由定比分点的向量表示[3]可得

又点Q是Ω的k+1号心,由定义1知由以上两式可得

注意到点Aj(1≤j≤N)在超球面S(O,R)上,由上式可知

所以,超球面 S(Q,R/(k+1))通过点 Mj(j=1,2,…, N).命题得证.

定理2 设共超球有限点集Ω={A1,A2,…,AN}的外接超球面为 S(O,R),则其 k+1号超球面 S(Q, R/(k+1))必通过各最大真子集Ωj的k+1号心Qj(j= 1,2,…,N).

证明 依题设,点Q和Qj分别满足(1.1)和(1.2),所以有

注意到点Aj(1≤j≤N)在超球面S(O,R)上,由上式可知

所以,超球面 S(Q,R/(k+1))通过点 Qj(j=1,2,…, N).命题得证.

定理3 设共超球有限点集Ω={A1,A2,…,AN}的外接超球面为S(O,R),其k号心为P,最大真子集Ωj的k+1号心为Qj,自点Qj引直线与直线AjP垂直相交于 Hj,则点集Ω的k+1号超球面S(Q,R/(k+1))必通过诸垂足 Hj(j=1,2,…,N).

证明 取线段AjP的k+1等分点为Mj,则由定理1和定理2可知,点Mj和Qj都在超球面S(Q,R/(k+1))上;又依题设条件有据此而知,要证明超球面S(Q,R/(k+1))通过垂足 Hj,只需证明球心Q是线段MjQj的中点即可.

比较(1.1)和(1.4),可知球心 Q是线段MjQj的中点T.命题得证.

综合定理1,2,3,我们得到如下结论.

定理4 设共超球有限点集Ω={A1,A2,…,AN}的k+1号超球面必通过3N个特殊点.即:各点Aj与Ω的k号心P的连线段AjP的内分点Mj(其中k∶1;j=1,2,…,N);Ω的各个最大真子集Ωj的k+1号心Qj(j=1,2,…,N);自点Qj引直线与直线AjP垂直相交的垂足 Hj(j=1,2,…,N).

推论 n维单形Φ={A1,A2,…,An+1}的2号超球面必通过3(n+1)个特殊点,即:各顶点Aj与Φ的1号心 P连线的中点Mj(j=1,2,…,n+1);Φ的各个最大真子集的2号心Qj(j=1,2,…,n+1);自点Qj引直线与直线AjP垂直相交的垂足Hj(j=1,2,…,n+1).

显而易见,九点圆定理可视为定理4当N=3,K= 1时的特例.因此,定理4是九点圆定理在n维欧氏空间的推广.

设线段MjQj的中点为T,注意到点Qj和Mj分别满足(1.2)和(1.3),可得

[2]沈康生.数学的魅力 (1) [M].上海:上海辞书出版社,2004.

[3]沈文选.单形论导引 [M].长沙:湖南师范大学出版社,2000.

[4]周永国.平面闭折线的 k号心及其性质 [J].中学数学,2003,(10):26.

[5]周永国.四面体的 k号心及其性质 [J].数学通讯, 2003,(19):32.

Abstract:This essay puts forward and proves the high-dimensional promotion of the theroem of nine-point circle.

Key words:n-dimensional space; finite set; Hypersphere

The High-dimensional Promotion of the Theorem of Nine-point Circle

ZHOU Y ong-guo1, ZHANG Song-ying2

(1.From No.1 Middle School of Yuanlin,Huaihua,Hunan 419600; 2.Zhongfang Middle School,Huaihua,Hunan 418000)

O184

A

1671-9743(2010)05-0041-02

2010-03-28

湖南省教育厅科学研究一般项目 (09C470).

周永国 (1962-),男,湖南沅陵人,沅陵一中高级教师,主要研究初等数学和高维几何不等式.