奖金内生的序贯锦标赛模型研究

闫 威，杨金兰

(重庆大学 经济与工商管理学院，重庆 400030)

0 引言

锦标赛作为一种激励策略已被广泛研究[1～3]。锦标赛有三个基本的原则：第一，奖金事先固定，奖金只取决于相对的而不是绝对的绩效;第二，不同等级员工的工资差距越大，对较低等级员工付出更多努力的激励就越大;第三，存在一个最优差距[4]。锦标赛要么是对称的，要么是不对称的。当代理人能力完全相同，且锦标赛的规则公平时，称为对称锦标赛[5]。不对称锦标赛有两种方式，一是代理人能力不相同，二是制定锦标赛的规则不公平，只对代理人的某一方有利[6]。但是，竞争者努力水平的方差在所有锦标赛实验中都非常大，而且该方差在大量不同的锦标赛实验中都消除不了。然而，这个方差在计件工资实验中却非常小。同时观察到，有利被试的平均努力水平集中于理论预测的均衡水平，但是，不利被试的平均努力水平保持在他们的均衡努力水平之上[7]。这与标准的经济理论结果相矛盾。在对激励薪酬方案中引入歧视的实验研究结果表明，只有对称锦标赛中的结果才支持锦标赛理论的预测。但是，在不对称锦标赛中，不管是有利的被试，还是不利的被试，其努力水平都显著地大于理论预测的水平[8]。Schotter和Weigelt(1992)的实验结果再次表明，这些结果惊人的稳定，而且被试行为的方差和竞争者提供的努力水平稍微有点过度这两个趋势始终存在[5]。因此，Bull et al.(1987)认为，锦标赛的失灵非常明显，这不是一般假设的信息结构的原因而是它们博弈本质的原因[7]。

综上所述，锦标赛中的参与者提供了过度的努力水平。为什么会出现这种令人迷惑的结果呢？

本文将交易成本引入锦标赛分析框架，建立一个两时期的动态模型。代理人在第一期通过努力工作提高产出，传递他能力高的信息，委托人根据这个信息减少对他们的监督，也减少了他们产出的度量成本。然后，在第二期，委托人把节约下来的交易成本，包括监督成本和度量成本，按照一定比例比如50%分给代理人。这样一来，委托人和代理人因为分得额外的交易成本，双方的处境都得到了改善。所以，代理人为了提高产出进而增加自己的收益，最优策略是在第一期更努力地工作，合理地解释了前述令人迷惑的实验研究结果。

1 序贯锦标赛模型

为了简化起见，本文仅仅考虑两个时期。代理人在第一时期的产出会影响他们在第二时期的薪酬方案。代理人的产出是一个随机变量。委托人可以观察到产出，但是，不能够确定产出是源于自身努力，或者由于好运气，还是二者兼而有之。代理人知道投入，也知道产出。代理人j的产出为

其中，μi表示代理人j内生的努力水平;εi是一个随机变量，假定服从均值为0，方差为δ(δ＞0)的正态分布。首先，委托人在第一时期根据了解到的代理人的能力和预期产出，制定最优的薪酬结构(wH，δL)。然后，代理人根据薪酬结构来确定最优努力水平。代理人在第一时期的期望收益

其中，pj是员工j获胜的概率。我们假定随机变量ε1、ε2独立同分布，于是，

从(2)可以看出，在奖金既定的情况下，代理人获胜的概率越大，他的期望收益就越大。而由(3)式可以看出，代理人获胜的概率取决于他与其他代理人的产出比较。一方面，代理人能力越强，产出就越大。代理人的产出越大，他获胜的概率就越大，进而他的期望收益就越大。另一方面，在既定奖金支出和交易成本的情况下，代理人的能力越高，委托人的收益就越大。因此，委托人有激励花费成本收集代理人能力方面的信息。但是，他们事先并不知道代理人的能力。不过可以通过收集代理人的学历或者工作经历等信息来了解代理人的能力。然而，收集信息需要花费成本。这里出现的问题是，委托人要不要去搜集大量的关于求职者或者代理人能力方面的信息？如果要搜集，如何确定最优的信息成本？委托人有两种策略：①花费成本收集信息，制定比较合理的薪酬方案；②不收集信息，节约了信息成本，但是不能合理地确定代理人的能力。因此，委托人需要制定收集信息的最优决策。那么，委托人的收益等于总的收益减去薪酬成本与交易成本。这里，交易成本包括信息成本，产出度量成本和监督成本。

道德风险模型认为，代理人会隐藏私人信息。这个私人信息只对自己有利，对委托人不利。但是，如果代理人能够自愿地跟委托人交流，把自己的能力告诉给委托人。那么，委托人就避免去收集代理人能力的信息，节约了信息成本。同时，也可以减少对代理人产出的度量，节约一部分度量成本。然后，委托人在第二期里把节约的交易成本，包括信息成本和度量成本和监督成本，按照一定的比例，比如50%的比例分给代理人。这样，代理人和委托人的处境都得到了改善。代理人如果不告诉委托人关于自己的真实能力，委托人就不信任代理人，要采取严格的措施予以监督。这样，花费的交易成本就是租值消散，反而使委托人和代理人双方的处境更恶劣。当然，能力低的代理人不愿意把自己低能力的信息告诉委托人。但是，代理人乐意把能力高的信息传递给委托人。因此，委托人可以把代理人的产出当成是他们能力的一个信号，认为产出高的代理人能力就高。这样，代理人可以通过产出反映他们的能力，也可以通过增加产出来向委托人传递他能力高的信号，而且是一个可以让委托人置信的信号。

第一时期结束后，委托人便知道了代理人的产出，然后对第二时期的薪酬结构做出如下调整：胜出的代理人分享薪酬结构(wH+Δw，wL+Δw)。 同时，在第二时期，委托人在第二时期不用去了解代理人的能力，也几乎不用度量产出，这样就节约了信息成本和度量成本。此时，我们来证明这个薪酬结构对委托人和代理人来说至少是帕累托改进。委托人知道代理人的产出排名后，他们的策略是认为产出高的代理人能力就高，产出低的代理人能力就低。能力低的代理人要么被解雇，要么被降级，要么没有机会去分享更高的奖金。委托人就不用去收集代理人能力的信息，同时，度量产出的成本也比较低。在奖金支出和产出一定的情况下，委托人节约的交易成本越多，增加的收益就越大。对代理人来说，这个策略也是帕累托改进的。因为如果代理人努力工作，就可以获得委托人按照一定比例分给的交易成本。如果代理人都偷懒，那他们的产出就低，那么，他们将面临被解雇或者降级的危险，而且失去了加薪的机会。当然加薪要小于度量成本和监督成本的总和。这里还需要指出的是，代理人在第一时期工作越努力，产出q1+q2越高，那么，他们在第二时期得到的加薪就越多。换句话说，加薪是代理人在第一时期总产出q1+q2的增函数。为了分析方便，我们假设加薪

从(4)可以看出，我们采用分成的方式来确定加薪。0≤r≤1是一个固定的分成比例。代理人在第二时期的期望收益为

我们假设代理人j在第二时期的竞争环境与第一时期相同，即他在第二时期获胜的概率与第一时期获胜的概率相同，都为概率pj。那么，代理人两时期的期望收益为

把(2)、(4)代入(6)，得到

这就是我们建立的序贯锦标赛模型。我们在下面节推导出员工均衡条件下的努力水平。

2 最优努力水平

假设两个竞争者的能力相同，在竞争的劳动力市场上，他们的工资率均为w。代理人无法通过共谋、破坏活动或者其他不合作的形式来提高第一时期的收益，而是考虑如何使他们两时期的期望收益之和最大。所以，两时期的边际收益应该等于他们的工资率的2倍，即

通过整理，得到

我们知道，代理人在第一时期的努力的边际收益

所以，可得出如下结论：

图1是对(9)式的图形化描述，纵坐标表示代理人的工资率，横坐标表示代理人的努力水平。u1表示代理人的边际期望收益等于外部工资率时的均衡努力水平[1]，u＊是本文引入交易成本分析框架得出的均衡努力水平，即满足条件(9)时的努力水平。

图1中有两点需要说明：(1)u＊＞u1，即本文提出的均衡努力水平大于标准的经济理论的均衡努力水平;(2)代理人的边际期望收益小于代理人外部选择的工资率wj。这与标准的经济理论相违背。我们首先来回答第一个问题。的确，如果代理人只考虑第一时期的期望收益最大化，那么，均衡努力水平是u1。但是，为什么会出现u＊＞u1这种结果呢？这也是许多实验研究感到困惑的地方[5，7～8]。其实，只是因为代理人在第一时期努力工作，把多余的努力水平u＊－u1作为礼物“送”给委托人来节约交易成本，委托人到第二时期把节约的交易成本分成比例r分给代理人。这样以来，代理人在两期的期望收益w大于不引入交易成本下分析的两期利润之和。加薪是代理人努力工作提高了产出后，委托人“送”给代理人的礼物。当然，加薪越大，对代理人的激励就越大。然而，加薪取决于代理人的产出和分成比例r两个因素。限于篇幅，本文不对分成比例之决定做详细分析。对于第二个问题，首先，代理人在第一时期不能获得分成奖金，在第一时期不会出现分成比例r。那么，代理人为什么会工作到边际收益小于外部工资率时的水平这与完全竞争市场的结论相违背？代理人努力工作到“不理性”的程度，是因为他们把高产出作为自己高能力的一个信号，传达给委托人，让委托人知道并相信他们是能力高的代理人。当他们之间建立了互信，委托人才会减少监督和度量产出的成本，把这些节约的交易成本按照分成比例“送”给代理人。如果代理人产出不高，委托人不但要损失薪酬，还要损失因为代理人产出的降低带来的损失。所以，委托人要建立声誉，来让代理人相信他们不会食言。这样以来，代理人的最优选择就是更努力地工作，提高产出。

3 关于努力成本函数的讨论

下面主要讨论为什么我们在动态模型中不引入代理人的努力成本函数而是采用竞争条件下的工资率w。在锦标赛中，假设代理人的努力成本函数是努力水平的凸函数，而且努力的边际成本大于0。这里对努力成本函数的处理存在以下3个问题：(1)努力成本的度量非常的困难，度量成本非常大。(2)不同的代理人有不同的努力成本函数，代理人给出的努力成本函数对委托人来说是不是可以置信。例如，代理人对委托人抱怨，他一天工作很辛苦，感觉努力成本花了100元。由于不同的人对相同的努力水平有不同的看法，即有不同的努力成本。此时，委托人可能认为代理人的努力成本函数不合理。于是，委托人与代理人对努力成本函数达成一致的沟通协调成本非常大。(3)代理人的目标函数是追求期望收益减去努力成本后的期望利润最大化，还是只追求期望收益最大化？现有的文献认为代理人的目标函数是追求期望收益减去努力成本后的期望利润最大化。本文认为这个目标函数的处理值得商榷。因为代理人通过出卖劳力来换取工资。代理人劳动力的机会成本是外部工资率和他们的休闲价值。代理人的目标应该是追求工资和休闲价值最大化。由于代理人之间的相互竞争，他们的外部工资律属于共同信息，所以搜集这个信息的代价不大，而且代理人和委托人对外部工资率这个信息比较认同，谈判成本比较低。鉴于此，我们采用外部工资率替代成本函数来建立序贯锦标赛模型。

4 结语

在锦标赛中，竞争者的均衡努力水平被定义为他们的边际期望收益(财富)等于边际成本时的努力水平。一些实验研究表明，被试选择的努力水平显著地大于这个理论预测的努力水平，这与标准经济理论相矛盾。我们在锦标赛模型中引入交易成本，构建了一个两期动态模型。在第一时期，代理人通过努力工作提高产出，以传递他能力高这样一个信号;委托人就减少监督他们，同时减少了度量成本。然后，在第二时期，委托人把节约的监督成本和度量成本按照一定比例分给代理人。这样一来，委托人和代理人因为分得额外的交易成本，减少租值消散，双方的处境都得到了改善。所以，代理人为了提高产出进而增加自己的收益，最优策略是在第一时期更努力地工作。这就比较合理地解释了这些令人迷惑的实验研究结果。

[1]Lazear，E.P.，Rosen，S.Rank-Order Tournaments as Optimum Labor Contracts[J].Journal of Political Economy，1981，89(5).

[2]Green，J.R.，Stokey，N.L.A Comparison of Tournaments and Contracts[J].The Journal of Political Economy，1983，91(3).

[3]Nalebuff，B.J.， Stiglitz，J.E.Prizes and Incentives：Towards a General Theory of Compensation and Competition[J].The Bell Journal of Economics，1983，14(1).

[4]Lazear，E.P.，Oyer，P.Personnel Economics[C].NBER Working Paper，2007，（10）.

[5]Schotter，A.，Weigelt，K.，Asymmetric Tournaments，Equal Opportunity Laws，and Affirmative Action：Some Experimental Results[J].Quarterly Journal of Economics，1992，107.

[6]O'Keeffe，M.，Viscusi，K.W.，Richard，J.Z.，Economic Contests：Comparative Reward Schemes[J].Journal of Labor Economics，1984，2.

[7]Bull，C.，Schotter，A.Weigelt，K.Tournaments and Piece Rates：An Experimental Study[J].Journal of Political Economy，1987，95.