受压结构稳定性的无损检测分析方法研究

李范春，杜 玲，刘清风，苏琳芳

（大连海事大学轮机工程学院，辽宁 大连 116026）

1 引 言

上世纪50年代以来，伴随着高强度材料的应用，航空、航天与船舶与海洋平台在世界范围内得到了更广泛的应用和飞速的发展，深潜器等海洋载人探测载运工具对结构稳定、可靠性的研究显得越来越重要。为了保证结构的安全可靠，通常把稳定理论分析结果除以很大的安全系数作为稳定性设计载荷。若用静态试验来测定结构或构件的屈曲载荷，由于普通静态稳定性试验是破坏性试验，试验成本太高，该方法的经济性受到严重影响。

利用结构或构件的振动特性进行失稳监测和预估屈曲荷载的概念可以追溯到20世纪30年代，从20世纪70年代起，以Singer为代表的西方学者，结合航空航天事业的发展，利用振动频率特性预估屈曲载荷方法对金属懍条加筋圆柱壳进行了深入的研究，发现在临界屈曲前高载荷处的频率急剧下降[1-3]。如何通过非破坏方式，对结构失稳载荷进行识别和确定结构的工作荷载是船舶工程等许多工程领域迫切需要解决的问题。

根据工程应用的需要，本文在研究国内外相关研究工作的基础上[4]，采用连续介质力学的一般理论，对受预承压结构的弹性失稳荷载与结构固有频率的内在联系进行了研究，通过推导得到了预应力或者初应力与系统固有频率的关系式，通过实验给出了拟合曲线。最后，给出了结构失稳荷载、预应力或者初应力和固有基频之间的关系式。通过实例与实验结果的比较证实了理论结果的正确性。通过对该关系式的研究可知，该方法可作为无损实验方法（NDT）和荷载识别的理论依据。

2 基本方程

固体的变形可由位移场表征

它借助于Lagrange坐标Xi及Euler坐标xi给出。对于变形至少有两种可能的描述，这取决于位移场的空间坐标的选取。

令F≡∂x/∂X表示位移梯度张量

以 G=F-1≡∂X/∂x 表示其逆。

由初始状态到当前状态的运动将导致物质线素的改变。长度平方的变化应是dX或dx的二次型。

式中：Eij和Aij分别为Lagrange和Euler应变张量的分量形式。Lagrange和Euler应变张量也可写成如下形式：

其中：J=detF为雅柯比行列式，ρ是密度，ρ0为初始密度。

考虑任意一个面元ds，单位法向向量为n，设其承受接触力为Tds，这里T为表面的力向量。Tds有以下几种表示方式：

其中ds0（n0为其法向量）上的切向量dx和ds（n为法向量）上的切向量dx=Fdx0由映射F相联系。因而有：

这里，σ为Cauchy应力张量，τ为Piola应力张量（或第一Piola-Kirchhoff应力张量），Σ为Kirchhoff应力张量（或第二Piola-Kirchhoff应力张量）。

应用质量守恒定律和动量守恒定律可以得到以不同应力张量表示的运动方程，以Cauchy应力张量表示的运动方程为

以Piola应力张量表示的运动方程为

或写成分量形式

以Kirchhoff应力张量表示的运动方程为

上式也可以写成如下的分量形式

3 预应力固体的振动

对于小扰动问题，如果位移与物体的特征长度相比是个小量，而且位移梯度∂u/∂x或∂u/∂X是小量，我们可以近似地取 X=x，∂/∂X=∂/∂x，因而

这时Lagrange应变张量E与Euler应变张量A与线性化的应变张量ε等同

质量方程（12）式可简化为

其中tr表示迹。

考察一个带有预应力或初应力PΣ0（x）的弹性固体，P≥0。其中Σ0是体积力g=0时，对附加位移场u，由Kirchhoff动量方程及Σ=PΣ0+Λ·ε（u），经过推导，可以得到运动方程：

4 稳定性分析的无损实验方法（NDT）

对于承受预应力或初应力的结构，如果单调增加稳态荷载P而使结构本身不遭到严重的危害，直到P=Pc，应用实验确定在结构尤其是在役结构静态失稳临界荷载Pc是非常困难的。是否存在不冒任何结构破坏的风险而能得到临界荷载的方法呢?给结构施加较小而安全的荷载P

静态屈曲临界荷载Pc是以下方程的本征值。

其中，uc是静力系统解的本征模态。

考虑动态系统（19）、（20）式，为了得到这个系统的本征值问题的解，有多种近似方法可以得到该问题的近似解，这里我们采用Rayleigh法，取静态近似解

使用Rayleigh法进行近似分析，其目的是为了推导P和ω的近似关系。为此，应用有限元法将解离散化。考察（19）和（20）的变分公式并将离散化的方程写成如下形式将是十分方便的。

其中，K是刚度矩阵，uc是RN空间中的一个矢量，KΣ是预应力矩阵。以右乘（24）式，可得到如下关系式

与上述方法类似，对（21）式和（22）式应用变分方法，得到如下方程

以（25）式减（26）式得

这就是预应力荷载（或初应力荷载）P与固有圆频率ω2之间的关系，当ω2=0时，该关系式将给出P=Pc。

5 算 例

为了验证该方法的正确性，讨论梁振动的例子，假设规范量弯曲刚度EI=1，单位长度的质量ρA=1。在长度为π的梁上施加压载荷P，梁的挠度微分方程为

对于简支梁边界条件为

将（30）式代入（28）式得

以P为横坐标，ω2为纵坐标绘制 （31）式中的P、ω2的关系曲线，如图1所示。 由于y（x）=sin（x）是（28）式的精确解，故P与ω2的关系是精确的，因而图1的关系曲线是直线。

对于两端固支梁的边界条件为

其固有频率随轴压的变化规律是下例泛函的极值

取近似静态解uc（x）=1-cos2x，我们得到近似关系

这一关系非常接近精确解（见图2），但当ω=0时，P=4确是精确解。近似解（34）中的ω2与压力P为线关系，将（34）式和固支梁的解析数值解绘制成曲线，则见图2所示。

6 实验结果

实验是通过YDL300电液伺服万能实验机对试件加载，试件长l=600mm，宽b=30mm，高h=4mm，弹性模量E=2.0×1011Pa。通过激振力锤敲击和传感器机数据采集设备的接受，最终完成对固有圆频率的测量。通过对将两端简支梁和两端固支梁在不同轴压下的实验结果进行规范，规范后的实验数据如表1和表2，将离散点进行直线拟合并绘制成曲线，得到最终如下的实验曲线。如图3和图4所示。

表1 不同轴压下简支梁规范后的实验数据Tab.1 Standardizing experimental datas of simply supported beam under different axial pressures

表2 不同轴压下固支梁规范后的实验数据Tab.2 Standardizing experimental datas of beam fixed at both ends under different axial pressures

7 结 论

从图1至图4我们可以看出，本文实验结果完全支持所得理论结果，并且理论曲线与实验线性拟合曲线吻合得很好。由于简支梁ω2与压力P为精确线性关系，固支梁ω2与压力P为满足一定精度的近似线性关系，因此，通过考虑两个相应系统 （P1，ω1）和 （P2，ω2），便可以确定临界荷载Pc。 通过这一方法我们可以实现确定结构临界失稳荷载的无损检测，并实现确定结构工作荷载的实时测量方法。

[1]Singer J.Recent studies on the correlation between vibration and buckling of stiffened cylindrical shells[J].Flight Science and Space Research,1979,3(6):333-343.

[2]Singer J,Prucz J.Influence of initial geometrical imperfections on vibrations of axially compressed stiffened cylindrical shell[J].Journal of Sound and Vibration,1982,(80)1:117-143.

[3]邓长根,吴建华,甘东华.钢结构失稳监测方法和失稳监控部件研究[J].建筑科学与工程学报,2006,23(3):21-25.

[4]Bui H D.Introduction aux problèmes inverses en mécanique des matériaux[M].Eyrolles 1993,English translation,CRC Press,1993.