加框板中频振动的等效阻抗灵敏度和响应变异性分析

夏智彬 ，黎 胜

（大连理工大学a.工业装备结构分析国家重点实验室；b.船舶工程学院，大连 116024）

1 引 言

对复杂结构系统的振动响应分析，一般根据所考虑的频率范围将分析频段分为低频段、中频段和高频段，并针对不同频段采取不同的分析方法。在低频段，有限元方法得到了广泛的应用。在高频段，统计能量分析和能量有限元方法等取得了成功的应用。而在中频段，目前基本上都是基于杂交方法[1-7]。杂交方法是基于结构特征波长或是模态密度将复杂结构分为刚性构件和柔性构件，对刚性构件采用有限元建模，对柔性构件采用统计能量分析或能量有限元方法建模，求解步骤是在确定柔性构件对刚性构件的边界等效阻抗后，首先对刚性构件采用有限元法求解得到刚性构件的响应，并由刚性构件响应和等效阻抗确定输入柔性构件的功率，再对柔性构件采用统计能量分析或能量有限元法求解。目前中频工作的不同点主要在于求解柔性构件对刚性构件的等效阻抗时采用的方法不同，中频振动杂交方法的一个关键问题就是怎样合理高效地求得柔性构件对刚性构件的等效阻抗作用，因为其通过附加阻尼、附加质量和附加刚度决定了刚性构件响应的求解准确性，并通过附加阻尼和刚性构件响应确定的输入功率决定了柔性构件响应的求解准确性。鉴于等效阻抗在中频振动杂交分析方法中的重要性，为了解等效阻抗对柔性构件各参数的敏感程度以及等效阻抗的变化对结构响应的影响，本文以加框板为例对等效阻抗进行了灵敏度分析，并对等效阻抗引起的响应变异性进行了分析。

2 计算方法

中频振动分析中首先要基于结构特征波长或是模态密度在计算频带内来划分刚性构件和柔性构件。有关结构特征波长计算和模态密度计算可参看有关专著[8-9]。对刚性构件，在简谐激励力作用下，考虑柔性构件等效阻抗作用的有限元形式的运动方程为

式中：ω 为激励圆频率；i=（-1）1/2；［M］、［C］和 ［K］分别为刚性构件的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；｛x｝为刚性构件位移向量；｛F ｝为外激励力向量；［Mf］、［Cf］和［Kf］分别为柔性构件的附加质量矩阵、附加阻尼矩阵和附加刚度矩阵。值得指出的是柔性构件的附加质量、附加阻尼和附加刚度只与柔性构件和刚性构件边界连接处的自由度有关，故其又可通过标量质量单元、标量阻尼单元和标量弹簧单元直接定义在刚性构件边界的有限元节点上。如等效阻抗Z可表示为

式中Z的实部Re（Z）=cf即为附加阻尼，虚部Im（Z）=ωmf-kf/ω即为附加质量和附加刚度，计算时可单独用附加质量或附加刚度来表示，本文中用附加质量来表示。

在得到所有连接点处的附加阻尼和附加质量（刚度）后，通过标量阻尼单元和标量质量（弹簧）单元加在相应的刚性构件有限元节点上，首先对刚性构件进行有限元求解。在得到刚性构件的响应后，即由刚性构件与柔性构件连接点处的速度响应和相应的附加阻尼可得到输入柔性构件的功率Π为

式中：n为刚性构件与柔性构件连接点的数目，cfi和vi为连接点i处相应的附加阻尼和速度响应。得到柔性构件的输入功率Π后，柔性构件的响应即采用统计能量分析或能量有限元法进行求解。如柔性构件的均方速度响应为

式中：η和m分别为柔性构件的损耗因子和质量。

对加框板，Vlahopoulos等[5-6]采用解析方法得到了框板焊接点处的等效阻抗，数值结果和实验结果的比较表明该方法具有较高的精度。Vlahopoulos等[5]采用解析方法得到的等效阻抗为

类似地可求得等效阻抗对Lx，Ly，ψs，ψmn等各个变量的灵敏度。由于等效阻抗与上述变量都有关系，存在一定的不确定性，下面对等效阻抗的不确定性引起的响应变异性进行分析。由（3）式和（4）式可知，柔性构件的均方速度响应为

为便于进行变异性分析，将cfi等效为一个点阻抗cf，则上式可表示为

3 数值算例

本文的计算模型为图1所示的加框板结构，板长和板宽为1.63m和1.09m，板厚为0.8mm，框由空心矩形截面管组成，框的截面面积为1.1291×10-3m2，截面惯性距为5.7447×10-6m4，结构材料的密度为7850kg/m3，弹性模量为210GPa，泊松比为0.3，结构阻尼为0.02。板和框通过点焊连接，连接点如图中O所示。计算的频带为100-700Hz，在该计算频带内板和框的特征波长或模态密度适合于将该结构中的框架划分为刚性构件采用有限元建模，将板划分为柔性构件采用统计能量分析建模。如对板和框均采用有限元进行计算，按一个波长需要划分6个线性单元，图1所示的稀疏网格有限元模型在计算频带内计算框没有问题，但计算板时满足一个波长划分6个单元要求的上限频率仅为47Hz。需要采用非常密的有限元网格才能达到计算精度要求。所以在将加框板划分为刚性构件和柔性构件后，采用（5）式来计算得到柔性板对刚性框的等效阻抗，然后使用稀疏网格基于上述计算方法得到柔性构件的均方速度响应见图2，图2中还给出了使用稀疏有限元网格（自由度数＝6915）、加密有限元网格（自由度数＝52533）和上述杂交方法得到的计算结果。可以看到，使用稀疏网格的有限元法计算结果已远小于加密网格的计算结果，而使用稀疏有限元网格的杂交法得到了满意的结果。

计算板等效阻抗对板长、板宽、密度、静定模态和振动模态等的灵敏度如图5示，可以看到，板的静定模态和振动模态对板等效阻抗的影响最大，而对板长、板宽和板的面密度的灵敏度影响较小。值得指出的是，令板等效阻抗对板长、板宽、密度、静定模态和振动模态等的灵敏度对激励频率的导数为零可得到其灵敏度在时取得极值，即等效阻抗的灵敏度在激励频率为倍的固有频率时取得极值。

下面对等效阻抗的不确定性引起的响应变异性进行分析。假定附加阻尼的不确定性服从正态分布，将按（5）式计算得到的附加阻尼取为均值，标准差取为均值的10%，则附加阻尼的变异性包络图μ1±3σ1如图6所示，由附加阻尼的变异性计算柔性板均方速度的变异性μ2±3σ2如图7所示，可以看到，附加阻尼的变化对板的均方速度响应的影响不大。

4 结 论

柔性构件对刚性构件的等效阻抗是中频振动杂交分析方法中的一个关键问题。为了解等效阻抗对柔性构件各参数的敏感程度以及等效阻抗的变化对结构响应的影响，本文以加框板为例对中频振动分析中等效阻抗的灵敏度以及等效阻抗的不确定性所引起的响应变异性进行了理论分析，推导了灵敏度计算公式和响应变异性计算公式并进行了数值计算研究。计算结果表明：板的振动模态和静定模态对等效阻抗的影响较大，等效阻抗的不确定性对板均方速度的影响较小。

[1]Langley R S,Bremner P.A hybrid method for the vibration analysis of complex structural-acoustic systems[J].Journal of the Acoustical Society of America,1999,105(3):1657-1671.

[2]Shorter P J,Langley R S.On the reciprocity relationship between direct field radiation and diffuse reverberant loading[J].Journal of the Acoustical Society of America,2005,117(1):85-95.

[3]Shorter P J,Langley R S.Vibro-acoustic analysis of complex systems[J].Journal of Sound and Vibration,2005,288:669-699.

[4]Vlahopoulos N,Zhao X.An investigation of power flow in the mid-frequency range for systems of co-linear beams based on a hybrid finite element formulation[J].Journal of Sound and Vibration,2001,242:445-473.

[5]Hong S B,Wang A,Vlahopoulos N.A hybrid finite element formulation for a beam-plate system[J].Journal of Sound and Vibration,2006,298:233-256.

[6]Vlahopoulos Nickolas,Li Sheng,Viktorovitch Michel,Caprioli Davide.Validation of a hybrid finite element formulation for mid-frequency analysis of vehicle structures[C]//SAE2007 Noise and Vibration Conference and Exhibition,2007-01-2303,May 2007.St.Charles,IL,USA.

[7]Ji L,Mace B R,Pinnington R J.A mode-based approach for the mid-frequency vibration analysis of coupled long-and short-wavelength structures[J].Journal of Sound and Vibration,2006,289:148-170.

[8]Fahy F.Sound and structural vibration:Radiation,transmission and response[M].London:Academic Press,1985.

[9]Lyon R H.Statistical energy analysis of dynamical systems:Theory and applications[M].Cambridge:MIT Press,1975.