Ham ilton系统Noether理论的新型逆问题

丁光涛

(安徽师范大学物理与电子信息学院，芜湖 241000)

(2009年5月24日收到；2009年6月19日收到修改稿)

Ham ilton系统Noether理论的新型逆问题

丁光涛†

(安徽师范大学物理与电子信息学院，芜湖 241000)

(2009年5月24日收到；2009年6月19日收到修改稿)

研究Hamilton系统Noether理论新型的逆问题，得到利用Noether理论从已知的第一积分构建Hamilton函数和对称性的一般解法和若干特殊解法，提出由Hamilton函数直接导出守恒量的两条推论.举例说明所得结果的应用.

Noether理论，Hamilton系统，逆问题，守恒量

PACC：0320

1.引 言

动力学逆问题是经典力学中古老而又常新的重要课题，几十年来该领域取得一系列重要研究成果[1—6].所谓动力学逆问题简言之，是从给定的运动性质，如第一积分，反过来建立动力学方程，当然，随着科学技术的发展，该问题的提法逐步扩充和完善.对Hamilton力学而言，因为其动力学方程由系统的Hamilton函数确定，故其动力学逆问题可以归结成由第一积分构建H函数.

Noether理论揭示了力学系统守恒量与其动力学对称性之间的内在联系，几十年来这个数理学科热门课题同样取得众多重要成果[1，4，7—15].Hamilton系统Noether理论将三个方面：系统动力学特征函数、对称变换和运动守恒量紧密联系起来，对于给定Hamilton函数的系统，可以确定其对称性，进而由对称性直接导出守恒量，或者反过来，由守恒量导出对称性.本文研究Hamilton系统Noether理论新类型的逆问题，即由系统已知的守恒量(运动微分方程的第一积分)构建系统的Hamilton函数，并同时确定对应的对称变换.在给出基本解法以及若干特殊解法后，举例说明得到的结果.在本文讨论过程中，还得到两个直接由Hamilton函数导出守恒量的推论.

2.Hamilton系统的Noether理论概述

Hamilton系统运动方程——正则方程为

其中qα，pα为正则变量，H=H(t，q，p)为Hamilton函数.

设时间和正则变量取无限小变换

其中ε为无限小参量，ξo，ξα，ηα为变换无限小生成元.如果存在规范函数GN=GN(t，q，p)使ξo，ξα，ηα满足如下Noether等式：

则系统这种不变性为Noether对称性，由此直接导出Noether守恒量

Hamilton系统Noether对称性另一判断方法是下列Killing方程有解：

如果已知方程(1)的第一积分则根据Noether逆定理，可以导出对应的对称性

说明两点：一是在本文讨论中不区分对称性和准对称性，而把通常严格的对称性视为GN=0的情况；二是在(3)，(4)，(5)，(7)和(8)式中均未出现ηα，根据文献[9]，已知ξo，ξα，可以计算出ηα.

3.应用Noether理论求解Hamilton系统动力学逆问题

Hamilton系统动力学逆问题提法.

已知系统一组相容而且独立的第一积分

构建系统可以容许的Hamilton函数H(t，q，p)，使上述第一积分均为系统的Noether守恒量，同时确定与每一个第一积分对应的对称性.

与通常文献中的Noether逆定理相比较，这是新型的Noether理论逆问题.根据上述Hamilton系统的Noether理论，可得到

定理1 对于Hamilton函数未知的系统(1)，已知第一积分(6)，设其在无限小变换式(3)下，为Noether守恒量，则联立求解(4)式和(3)式，或联立求解(4)式和方程(5)可以得到系统的Hamilton函数H(t，q，p)，以及对应的对称变换生成元和规范函数.

由于方程数少于待求函数的个数，故解不是唯一的，求解过程中有较大的选择补充条件的自由程度.因此，当给出的第一积分具有某些特性时，可以在上述通用解法基础上建立若干特殊解法.推论1 若则可以选择

容易证明，将(10)—(12)式代入(4)和(3)式，都能满足.

已知第一积分，构建Hamilton函数的另一基本解法联立求解(4)式与方程(5)，可以建立如下专门的求解程序，以得到待求的 H函数和对应的对称性.

首先，用(6)式所给I代替(4)式中IN，并将(4)式两边对pα求偏导数，同时结合方程(5)中第二组方程，得

应当指出，(13)式即(7)式.其次，将(4)式两边分别对t和qα求偏导数，再与(13)式一起代入方程(5)第一式，得

利用Poisson括号，上式可以改写成

(14)或(15)式所表达的正是I为守恒量(第一积分)的条件[1，16]，通过Noether理论重新导出，说明分析力学理论的自冾，但在这里将把(14)式看成由I求H的偏微分方程，解方程(14)可以求得系统H函数，再与(13)式一起代入(4)式，得

由(13)和(16)式可以得到对应的对称变换，同样要指出，解不是唯一的，求解时应引入补充条件.例如取

得

由上述论证，可以得到

定理2 对于Hamilton函数未知的系统(1)，已知第一积分(6)，设其在无限小变换式(3)下，为Noether守恒量，则联立求解(14)式，(13)式和(16)式，可以得到系统的Hamilton函数H(t，q，p)，以及对应的对称变换生成元和规范函数.

问题回到由(9)式给定的一组第一积分，求系统可以容许的Hamilton函数.利用Noether理论的通用解法，有两条路径：路径一是先求出与每个第一积分对应的Hamilton函数集合，再找出m个集合中的共同元素，这就是待求的与m个第一积分对应的函数H(t，q，p)，一般说来，解不是唯一的；路径二是先求出一个第一积分对应的Hamilton函数集合，然后将集合中每个H函数与其余的第一积分代入(14)式检验，只有使其余第一积分都满足(14)式的，才是待求的Hamilton函数.应当指出，在实际求解过程中，要找到与一个积分对应的全部Hamilton函数是很困难的.

4.两个直接由Hamilton函数导出守恒量的推论

Hamilton力学中，由函数H(t，q，p)的结构，可以直接导出守恒量[1，16]，例如

推论2 若系统Hamilton函数是时间函数f(t)和与时间无关的正则变量函数I(q，p)的乘积，即

H(t，q，p)=f(t)I(q，p)，

则函数I(q，p)是系统的守恒量.

推论3 若系统Hamilton函数是与时间无关的正则变量函数I(q，p)的复合函数，即

则函数I(q，p)是系统的守恒量.

上述两个推论还可以组成新的推论，例如，若

5.算 例

例1 (ⅰ)已知系统一个第一积分为

构建系统的Hamilton函数H和对应的对称变换.

(ⅱ)设系统的另一个第一积分为

确定系统的Hamilton函数.

将(18)式中I代入(14)式得

此方程的解很多，例如

等等.将解(21)—(27)代入(3)式检验，得解(26)和(27)应当弃去.不难看出，解(21)—(25)，还可以利用(13)，(14)和(16)式求出，或直接利用(10)，(11)和(12)式得到.

对于第一积分式(19)，代入(14)式得

此方程的解也不是唯一的.例如

等等.由(23)和(29)式，可得系统一个Hamilton函数为

例2 已知系统4个第一积分为

求系统的Hamilton函数.

首先，求与I1对应的Hamilton函数.由于0，故由(10)和(11)式得

还可以将I1代入方程(14)求解，对I1方程(14)写成

此方程解除上述H1和H2外，还有

等等.对I2，I3和I4不再分别求出对应的Hamilton函数，而是用守恒量条件(14)式检验.

将I2与H1代入(14)式成立；I2与H2代入(14)式成立；I2与H3代入(14)式不成立；I2与H4代入(14)式不成立，故H3与H4弃去.

将I3与H1代入(14)式成立；I3与H2代入(14)式不成立，故H2弃去.

将I4与H1代入(14)式成立，故(33)式的H1是待求的Hamilton函数.

6.讨论与结论

本文研究了Hamilton系统Noether理论与动力学逆问题的关系，给出利用Noether对称性理论，从第一积分构建系统Hamilton函数以及导出对应对称变换的通用解法和若干特殊解法.本文结果可以概括成：

1.提出新型的Hamilton系统Noether理论逆问题，由守恒量构建系统的动力学特征函数H；同时对通常的Noether逆定理而言，也是一个突破和发展，在确定动力学特征函数H的同时，求出与守恒量对应的对称变换生成元和规范函数.

2.发展了动力学逆问题，直接利用Noether对称理论从第一积分求Hamilton系统的动力学特征函数H，不需要先从第一积分求出运动微分方程，再将方程改写成自伴随形式后计算动力学特征函数；换句话说，对于由运动微分方程导出动力学特征函数问题，提供了一条新的路径，即先求出第一积分，再构建动力学特征函数.

3.对Hamilton系统，给出了由第一积分导出Hamilton函数以及Noether对称变换的通用解法和若干特殊解法，全面讨论了Hamilton系统动力学特征函数、对称变换和运动守恒量三者之间的联系和转换关系.

4.在上述讨论过程中，得到了由Hamilton函数直接导出守恒量的两条推论.

本文的研究可以推广到Lagrange系统和Birkhoff系统.

[1]Mei F X，Liu D，Luo Y 1991 Advanced analytical mechanics (Beijing：Beijing Institute of Technology Press)(in Chinese) [梅凤翔、刘端、罗勇1991高等分析力学(北京：北京理工大学出版社)]

[2] ГалиуллинАС1986 Memo∂ырeшeнцяoбраmныхза∂ач∂цнамцкц(Москва：Наука)

[3]Mei FX 1991 Mechanics in Engineering 13 17(in Chinese)[梅凤翔1991力学与实践13 17]

[4]Luo SK，Zhang Y F 2008 Advances in the Study of Dynamics of Constrained Systems(Beijing：Science Press)(in Chinese)[罗绍凯、张永发等2008约束系统动力学研究进展(北京：科学出版社)]

[5]Santilli R M 1978 Foundations of Theoretical Mechanics I(New York：Springer-Verlag)

[6]Santilli R M 1983 Foundations of Theoretical Mechanics II(New York：Springer-Verlag)

[7]Noether A E 1918 Nachr.Akad.Wiss.Gottingen.Math.Phys.K I II235

[8]Zhao Y Y，Mei F X 1999 Symmetries and Invariants of Mechanical Systems(Beijing：Science Press)(in Chinese)[赵跃宇、梅凤翔1999力学系统的对称性与不变量(北京：科学出版社)]

[9]Mei F X 1999 Applications of Lie Groups and Lie Algebras to Constrained Mechanical Systems(Beijing：Science Press)(in Chinese)[梅凤翔1999李群和李代数对约束力学系统的应用(北京：科学出版社)]

[10]Li Z P 1981 Acta Phys.Sin.30 1659(in Chinese)[李子平1981物理学报30 1659]

[11]Liu D 1990 Sci.China A(11)1189(in Chinese)[刘端1990中国科学A辑(11)1189]

[12]Li Z P 1991 Chin.Sci.Bull36 958(in Chinese)[李子平1991科学通报36 958]

[13]Mei F X 1993 Sci.China A 36 1456

[14]Zhang Y，Shang M，Mei F X 2000 Chin.Phys.9 401

[15]Luo SK 2003 Acta Phys.Sin.52 2941(in Chinese)[罗绍凯2003物理学报52 2941]

[16]Goldstein H，Poole C，Safko J2002 Classical Mechanics3rd ed. (Redwood City：Addison-Wesley)

PACC：0320

†E-mail：dgt695@sina.com

New kind of inverse problem s of Noether’s theory for Ham iltonian system s

Ding Guang-Tao†
(The College of Physics and Electronic Information，Anhui Normal University，Wuhu 241000，China)
(Received 24 May 2009；revised manuscript received 19 June 2009)

In this paper，a new kind of inverse problems of Noether’s theory for Hamiltonian systems is studied.The general solution and the specific solutions of constructing the Hamiltonians and the symmetries from known first integrals by using Noether’s theory are obtained.Two corollaries according to which the conserved quantities can be deduced directly from the Hamiltonians are presented.Two examples are given to illustrate the application of the results.

Noether’s theory，Hamiltonian system，inverse problem，conserved quantity

†E-mail：dgt695@sina.com