具有脉冲和时滞合作系统的正周期解存在性

刘燕，王全义

（华侨大学数学科学学院，福建 泉州 362021）

具有脉冲和时滞合作系统的正周期解存在性

刘燕，王全义

（华侨大学数学科学学院，福建 泉州 362021）

利用重合度理论和一些分析技巧，研究一类具有脉冲和时滞的合作系统，得到该系统存在正周期解的结果.结果表明，具有脉冲和时滞的合作系统，在满足一定的充分条件，该系统至少存在一个正周期解.

时滞；脉冲；周期解；重合度理论

在种群生态学中，生物种群系统的持久性与正周期解的存在性一直受到许多学者的关注［1-4］.文［1］研究了种群时滞合作系统

的正周期解.同时，利用重合度理论，得到保证系统（1）至少存在一个周期正解的充分性条件.然而，对种群生态学而言，由于季节的变化，食物的供给及人为的捕放等原因的扰动，生物种群会出现一些突发性的变化.此时，对生物种群的研究，应该考虑由于扰动而产生的脉冲效应.文［5］研究具有脉冲和常数时滞的捕食者-食饵系统的正周期解存在性问题，但是对于具有脉冲和非常数时滞的生物系统周期解的存在性研究成果还很少.对于一类具有脉冲和时滞的合作系统，有

式中：r1（t），r2（t），α1（t），α2（t），K1（t），K2（t）均为正的ω-周期连续函数，αi（t）＞Ki（t），σ1（t），σ2（t），τ1（t），τ2（t）均为非负连续的周期函数.bik＞-1且bik=bi（k+p），0＜t1＜t2＜…＜tk＜ω为一个周期内的脉冲点，有tk+p=tk+ω；Ni（tk）=Ni（），且Ni（t），i=1，2；k=1，2，…存在.显然，当bik=0时，系统（2）的方程就化为系统（1）的方程.因此，系统（2）包含了系统（1）.本文利用重合度理论，研究系统（2）的正周期解的存在性问题.

1 准备知识

首先，引入重合度理论及延拓定理［6］.假设X，Z为赋范向量空间，L∶DomL⊂X→Z为线性映射，N∶X→Z连续映射.如果dim KerL=co dim ImL＜+∞，且ImL为Z闭子集，则称L为指标为零的Fredholm映射.如果L为指标为零的Fredholm映射，且存在连续投影P∶X→X，Q∶Y→Z，使得ImP=KerL，KerQ=ImL，X=KerL⊕KerP和Z=ImL⊕ImQ，则LP≜L|DomL∩KerP∶DomL∩KerP→ImL可逆.记其逆映射为KP.设Ω为X中的有界开集，若QN∶→Z与KP（I-Q）N∶→X都是紧的，则称N在上是L-紧的.由于ImQ与KerL同构，故存在同构映射J∶ImQ→KerL.

引理1［6］设Ω⊂X为有界开集，L为指标为零的Fredholm映射，N在上是L-紧的.假设（1）对任意的λ∈（0，1），方程Lx=λNx的解满足x∉∂Ω；（2）对任意的x∈∂Ω∩KerL，QNx≠0；（3）Brouwer度deg｛JQN，Ω∩KerL，0｝≠0.那么，方程Lx=Nx在∩KerL内至少存在一个解.

2 正周期解的存在性

定理1 在系统（2）中，若条件

成立，则系统（2）至少存在一个正的ω-周期解.

证明 作变换N1（t）=exp（u1（t）），N2（t）=exp（u2（t）），则系统（2）可化为

为了方便起见，记

由于

所以有

利用Lebesgue收敛定理，可以证明QNu和KP（I-Q）Nu是连续的；利用Arzela-Ascoli定理可以证明，对X中的任意有界开子集Ω，QN（）及KP（I-Q）N（）分别是Z及X中的紧子集.

应当注意的是，由于t=tk（k=1，2，…，p）是QNu和KP（I-Q）Nu的第1类间断点，故可在子区间上分别使用Arzela-Ascoli定理.因此，对于X中的任意有界开子集Ω，N在上是L-紧的.

对应于算子方程Lx=λNx，λ∈（0，1），有

设u=（u1（t），u2（t））T∈X是系统（4）对应于某一λ∈（0，1）的解.将系统（4）的两端从0到ω积分，可得

于是，有

由于αi（t）＞Ki（t）（i=1，2），由式（5），（6）可得

进一步地，由式（4）～（8），可得

于是，由定理1的条件可知

从而有

另一方面，由式（5），（6）可知

因此，由定理1的条件可知

结合式（9），（10），（15），（16），有

令

显然，正常数K与λ（λ∈（0，1））无关.由上面的讨论可知

假设u=（u1，u2）T∈R2，则从QNu的表达式得

考虑方程

类似于式（11），（12），（15），（16）的讨论，可知方程（20）的任一解u＊=（u＊1，u＊2）T∈R2一定满足

从而有

令Ω=｛u=（u1，u2）T∈X∶‖u‖＜K｝，则由式（19）可知，引理2中的条件（1）成立.当u∈KerL∩∂Ω时，u是R2中的常值向量且‖u‖=K，则由式（21）可知

即引理1中的条件（2）也满足.取同构映射J∶ImQ→KerL为

因此，有

定义同伦映射

上式中：（u1，u2）T∈∩KerL，η∈［0，1］.当（u1，u2）T∈∂Ω∩R2，η∈［0，1］时，φ（u1，u2，η）≠0.若不然，即当（u1，u2）T∈∂Ω∩R2时，有φ（u1，u2，η）=0.类似式（21）的证明，可得‖ui‖＜K，i=1，2.这与（u1，u2）T∈∂Ω∩R2矛盾.因此，当（u1，u2）T∈∂Ω∩R2，η∈［0，1］时，φ（u1，u2，η）≠0.由正常数K的取法可知，φ（u1，u2，0）满足引理2的条件.由重合度的同伦不变性及引理2，可得

这样，引理1中的条件（3）也满足.因此，系统（3）至少有一个ω-周期解，而系统（2）至少存在一个正的ω-周期解.

［1］LI Yong-kun.On a periodic mutualism model［J］.Australian＆New Zealand Industrial and Applied Mathematics Journal，2001，42（4）：569-580.

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［6］GAINES R E，MAWHIN J L.Coincidence degree and nonlinear differential equations［M］.Berlin：Springer-Verlag，1977：40-60.

Existence of Positive Periodic Solutions for a Class of Mutualism Systems with Impulses and Delays

LIU Yan，WAN G Quan-yi
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

In this paper，by means of some analysis techniques and the continuation theorem of coincidence degree theory，we study a class of mutualism systems with impulses and delays.The existence of positive periodic solutions for the systems is proved.The result expresses that，under some sufficient conditions，there exists at least a positive periodic solution for the system.

time delay；impulse；positive periodic solutions；coincidence degree theory

O 175.14

A

1000-5013（2010）06-0697-06

（责任编辑：陈志贤 英文审校：张金顺，黄心中）

2008-10-17

王全义（1955-），男，教授，主要从事常微分方程和泛函微分方程的研究.E-mail：qywang@hqu.edu.cn.

福建省自然科学基金资助项目（Z0511026）