解四阶抛物型方程的高精度显式差分格式

张星，单双荣

（华侨大学数学科学学院，福建 泉州 362021）

解四阶抛物型方程的高精度显式差分格式

张星，单双荣

（华侨大学数学科学学院，福建 泉州 362021）

对四阶抛物型方程ut+uxxxx=0，构造一个新的三层显式差分格式，其稳定性条件和局部截断误差阶分别为r=τ/h4≤1/8和O（τ2+h6），其结果优于其他四阶抛物型方程的结果.数值例子表明，理论分析是正确的，该格式是有效的.

四阶抛物型方程；高精度；显式差分格式；稳定性；截断误差

1960年，Саулъев［1］对四阶抛物型方程（初边值问题）

构造了一个显式格式，但其局部截断误差阶仅为O（τ+h2），精度较低；然后，又提出两个隐式差分格式，其局部截断误差阶分别为O（τ2+h2）和O（τ2+h4），但需解线性方程组，计算量太大.文［2-3］分别得到一个显式差分格式，文［2］的稳定性条件和截断误差阶分别为r=τ/h4＜1/8和O（τ2+h4），而文［3］的结果是r≤1/16和O（τ2+h6）.此外，文［4］得到了四阶抛物型方程的隐式格式，但计算量较大.本文构造了一个新的三层显式差分格式.

1 差分格式的构造

设问题（1）的解u（x，t）充分光滑，分别用τ，h表示时间t及空间x方向的步长，用表示u（jh，nτ）的差分逼近.网域由点集（xj，tn）（j=0，1，…，M；n=0，1，2，…）组成，其中xj=jh，tn=nτ，h=1/M，并设r=τ/h4为网格比.用含参数具有对称形式的差分方程

逼近微分方程（1）.式（2）中，Ci（i=0，1，…，6）为待定参数.

当微分方程（1）的解充分光滑时，有

将式（2）中各节点上的u在网点（xj，tn）处进行Taylor展开，且两边同时乘以1/h4，整理可得

利用式（3），当以下条件

同时成立时，差分格式（2）的截断误差阶可达O（τ2+h6）.解方程组（4）可得C0=C1/r，C2=-4C1，C3=6C1-2C1/r，C4=-C1，C5=4C1，C6=C1/r-6C1.

将以上各参数值代入式（2）中，可得三层显式差分格式为

其局部截断误差为O（τ2+h6）.

2 差分格式稳定性

引理1 即Mille准则［5］，实系数二次方程Ax2+Bx+C=0（A＞0）的两个根按模小于等于1的充要条件：A-C≥0，A+B+C≥0，A-B+C≥0.

定理1 当0＜r≤1/8时，格式（6）至少在Forsythe-Wasow［6］意义下条件稳定.

上式中，A=1，B=r（4cos2α-2）-8rcosα+6r-2，B=-［r（4cos2α-2）-8rcosα+6r-1］.

下面验证特征方程（7）是否满足引理.首先，A=1＞0成立；其次，对任意r＞0，均有

当0＜r≤1/8时，有

因此，当0＜r≤1/8时，满足引理的条件1，Von Neumann条件成立.所以，格式（6）至少在Forsythe-Wasow［6］意义下条件稳定.

3 数值例子

解四阶抛物型方程的混合问题

其精确解为u（x，t）=e-tsinx.边界条件的处理与文［1］相同，即采用中心差商代替微商.于是，有=对于初始条件的处理，则用直接转移法，可得=sinjh，（j=0，1，…，M；n=0，1，2，…）.

所构造的显格式（6）是三层格式，启动值除了初始层网格函数值以外，还需用其他方法先算出第1层网格函数值.为了方便，按精确值代替第1层的值进行计算（实际计算可用同精度的两层隐格式计算第1层的值）.当h=π/10时，利用格式（6）进行求数值解，不同网格比r的精确解比较，如表1所示.

表1 格式（6）的数值结果对应值Tab.1 Corresponding value of Numerical results of scheme（6）

华侨大学数学科学学院曾文平教授给予的悉心指导，特此致谢.

［1］САУЛЪЕВК.抛物型方程的网格积分法［M］.袁兆鼎，译.北京：科学出版社，1963：143-152.

［2］曾文平.解四阶抛物型方程的高精度显式差分格式［J］.华侨大学学报：自然科学版，1997，18（2）：122-127.

［3］单双荣.解四阶抛物型方程的高精度差分格式［J］.华侨大学学报：自然科学版，2003，24（1）：11-15.

［4］林鹏程.解四阶抛物型方程的绝对稳定高精度差分格式［J］.厦门大学学报：自然科学版，1994，33（6）：756-759.

［5］MILL ER J J H.On the location of zeros of certain classes of polynomials with application to numerical analysis［J］.J Inst Math Appls，1971，8（3）：394-406.

［6］矢岛信男，野术达夫.发展方程の数值分析［M］.东京：岩波书店，1977：46-232.

［7］RICHTMYER R D，MORTON K W.Difference method for initial-value problems［M］.2nd ed.New York：Wiley，1967：59-91.

Explicit Difference Scheme of High Accuracy for Solving Four-Order Parabolic Equation

ZHANG Xing，SHAN Shuang-rong
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

In this paper，a three-level explicit difference scheme is proposed for solving four-order parabolic equationut+uxxxx=0.The scheme meets a stability condition ofr=τ/h4≤1/8 and shows a local truncation error ofO（τ2+h6）.It is showed that the scheme is effective and the analysis of stability is right by a numerical example.

four-order parabolic equation；high accuracy；explicit difference scheme；stability

O 241.82

A

1000-5013（2010）06-0703-03

（责任编辑：陈志贤 英文审校：张金顺，黄心中）

2008-11-23

单双荣（1956-），男，教授，主要从事微分方程数值解的研究.E-mail：shansr@hqu.edu.cn.

国务院侨办科研基金资助项目（04QZR09）