基于遗传搜索和有限反馈的酉阵设计

何仪周， 程智慧， 王军生， 雷向勇， 练岚香

(①北京1481信箱，北京 102442；②北京理工大学，北京 100081)

0 引言

在快衰落瑞丽信道下，差分酉空时调制(DUSTM)适用于无法获得信道状态信息(CSI)的情况[1]，发射信号酉阵为正交离散傅立叶变换对角阵——对角线上的元素为复域单位圆上基点相位的整数倍[2]——“频率系数”，为提升DUSTM性能，文献[3]提出了基于整数“频率系数”的分组对角旋转矩阵的概念。

在慢衰落瑞丽信道下，发射端可完全或部分获得 CSI：当CSI完全获得时，发射端可利用特征根进行最优预编码[4]。由于反馈信道带宽的限制，发射端无法完全获得 CSI，故有限反馈预编码技术应运而生[5]。码本对于发射/接收端均透明，预编码结构与DUSTM结构相同。

总之，以上文献中涉及的酉阵均通过穷举搜索整型“频率系数”的方式优化获得。本文提出了一种基于遗传算法搜索的实型“频率系数”方法，仿真结果表明，采用此方法获得DUSTM及预编码码元性能优于整形“频率系数”码元，且搜索效率更高。分别表示矩阵的共扼转置、迹、行列式及F范数。IN表示N×N的单位阵。表示μ均值σ2方差循环高斯变量。A⊗B表示矩阵A和矩阵B的Kronecker矩阵积。

1 差分酉空时调制(DUSTM)

在准静态瑞利信道下，假设MIMO系统有tN根发射天线、Nτ接收天线，在2T个时间周期内，信道传参数近似不变且未知，则接收矩阵表示分组的发射时刻索引，为接收/发射矩阵。信道参数矩阵、噪声矩阵为独立同分布(i.i.d)ℂℕ ( 0 ,1)随机变量。

这里，σm( Φl-Φl′)是(Φl-Φl′)的第m个奇异值。码字的设计准则[2]就是最大化分集积：

对于 DUSTM[4]而言，基于精确成对错误概率的符号错误概率(SEP)联合边界UBP：

这里，xi=cos(2i-1)π/18。对于DUSTM来说，矩阵集{Φl} 可通过最大化公式(1)或最小化公式(2)获得。

2 酉预编码

在信号投送过程中，假设信号星座图(如QAM等)的信号用（Q信号 { s1,s2,… ,sQ;Q为星座图容量} 表示）具有单位平均能量，通过与空时码融合，符号速率 Q /T的发射矩阵 S被变化为适合M根虚拟天线传送的信号矩阵，最后，信号矩阵S经F预编码后由 Nt根实际天线发射出去。

① 如果S为一正交空时码，则FΓ就是w集中保证取极大值时的元素。此时，w集的元素项根据最小“弦距”是w码本容量)原则进行设计；

② 如果S是VBLAST码，则FΓ就是w集中保证取极大值时的元素。此时，w集的元素项根据最小“范数间投影距离”

③ 如果S是VBLAST码，且期望系统容量最大，则FΓ就是w集中保证取极大值时的元素。此时，w集的元素项根据最小“任意成对Fubinistudy距离”进行设计。总之，酉阵预编码的码本设计与DUSTM的酉阵码本设计类似。在一定设计准则下，DUSTM和预编码都存在着酉阵的结构以及相关参数的优化等问题。

3 酉阵设计

3.1 循环群设计

DUSTM的对角酉阵循环群具有如下形式[2]：

这里，θL=2π/L，l=0,1,…,L -1。公式(3)中的循环码由Nt和“频率系数”决定。通过对前面第1节、第2节提及的差分标准进行优化即可得到“频率系数”μ集。

3.2 循环旋转设计

循环矩阵乘以分组对角旋转矩阵RF即可得到循环旋转矩阵[3]。。旋转因子0≤ k ＜L与μ可同时进行优化， Nt为偶数。

先前的文献在优化过程中，“频率”系数采取整形并通过穷举搜索获得最优码本，当 L和tN很大时，运算量相当的庞大，遗传算法就是解答此问题的钥匙。

4 遗传算法

遗传算法模拟自然选择和自然遗传，在每次迭代中保留一组候选解，并按某种指标选取较优的个体，利用遗传算子(选择、交叉和变异)对这些个体进行组合，产生新一代的候选解群，重复此过程，直到满足某种收敛指标为止。

遗传算法包括：编码、适应度函数、遗传算子、运行参数。编码通过某种编码机制把对象抽象为由特定符号(二进制串)按一定顺序排成的串。适应度函数是个体（解）的好坏的评价标准，适应度函数值越高的个体就越有机会通过交叉或变异等遗产方式传递到下一代去。

表1显示的是当 L =16，32、 Nt=6，8时通过遗传算法得到的DUSTM分集积，作为对比，根据文献[3]和文献[4]采用穷举整形“频率”系数搜索得到的分集积也罗列在表中。表2显示的是基于公式(4)采用遗传算法得到的L=8,16,32、Nt=4,5,6得到的循环“弦距”，作为对比，基于整形“频率”系数的穷举搜索得到的“弦距”也列在表2中。

表1 分别采用遗传算法和穷举搜索得到的DUSTM之分集积

表2 分别采用遗传算法和穷举搜索得到的酉阵预处理“弦距”

5 仿真结果

图1显示的是采用整形“频率”系数[2-3]穷举搜索和采用实型“频率”系数遗传算法获得的星座图符号误码率 SEP。仿真环境：瑞丽衰落信道采用Jakes模型，=2.5×103，fd为多普勒频移， Ts为符号周期， Nt=6 ,Nτ=1 ,L=1 6,32。从图1可以看出，当SEP =10-5时，遗传算法码元相对于循环群码有0.4dB的增益，相对于循环旋转码有0.6dB的增益。

图1 循环、循环旋转设计码元比较

图2显示的是 Nt=6,Nτ=1，Alamouti码元被6×2酉阵预处理的符号误码率，相对于 L =8 H和 L =1 6的码本有3 bit和4 bit的反馈，当 S EP = 1 0-5时，遗传算法码元相对于穷举搜索[6]码元有0.5dB的增益，穷举搜索码元在4 bit反馈时的性能与遗传算法码元在3 bit反馈时的性能相当，因此遗传算法可降低反馈比特数。

6 结语

本文提出了一种采用遗传算法运用于DUST调制和酉阵预处理的旋转对角阵设计方法，“频率”系数采用实型，而非传统的整数，适用于天线数较大、码本容量较大的MIMO系统。仿真结果表明，采用此设计方法获得码元性能更为优异。

图2 预处理码元的性能比较

[1] 张勇,韩力,程智慧,等.Nakagami衰落信道中差分空时分组码误比特率分析[J].通信技术,2008,41(10):58-60.

[2] 程智慧,张勇,雷向勇,等. 循环群酉空时码的优化设计[J].通信技术, 2009,42(12):223-225.

[3] 程智慧,张勇,逄大鹏,等.多发射天线的差分酉空时调制信号星座图[J].通信技术, 2009,42(10):41-42,45.

[4] Scaglione A, Stoica P, Barbarossa S,et al.Optimal Designs for Space-time Linear Precoders and Decoders[J]. IEEE Trans.Signal Processing,2002,50(05):1051-1064.

[5] Love D J, Heath R W. Limited Feedback Unitary Precoding for Spatial Multiplexing Systems[J].IEEE Trans. Inform.Theory,2005,51(08):2967-2976.

[6] Love D, Heath R J. Limited Feedback Unitary Precoding for Orthogonal Space-time Block Codes[J]. IEEE Trans. Signal Processing, 2005,53(01):64-73.