基于Wigner-Ville分布的高动态频率跟踪算法

赵海龙， 张 健， 周 劼， 黄 强

（中国工程物理研究院电子工程研究所，四川 绵阳 621900）

0 引言

频率的跟踪是载波同步中的一项关键技术，在低动态环境中，由于载体机动造成的多普勒频率较小，接收机一般采用锁相环(PLL)来进行频率与相位跟踪。而高动态环境具有较高的速度、加速度和加加速度，导致多普勒频率很大[1]，由于跟踪精度和环路带宽之间的矛盾，所以传统的锁相环已经无法可靠的跟踪。

针对高动态环境下频率跟踪的问题目前主要有两种解决方案，一是为接收机提供惯导系统进行速率辅助，另一种是研究适合高动态环境的频率估计算法，然后将算法嵌人到接收机内的信号处理部分。其中，后一种方案由于具有体积小、成本低与结构简单等特点而得到广泛应用。针对第二种方案，美国喷气动力实验室（JPL）的Vilnrotter,H inedi与Kumar等人分析了一些高动态环境下的GPS频率估计算法[2-3]，主要涉及的算法有最大似然估计(MLE)、扩展卡尔曼滤波(EKF)、自动频率控制环(AFC)和自适应最小均方法(ALS)。

本文从时频分析的角度出发，提出了一种基于Wigner-Ville分布（WVD）的高动态频率跟踪算法。利用WVD估计瞬时多普勒频率来辅助载波跟踪环路，从而提高了跟踪的动态范围与频率估计精度。

1 高动态GPS载波相位模型

设GPS天线接收的C/A码信号经过下变频成为中频信号，并假定信号已经解扩，则信号模型为[2]：

其中，ωI为中频频率，A为幅度（假定为常数1），D(t)=±1为调制数据，n (t)为平稳的零均值，单边功率谱密度为 N0的高斯白噪声，θ(t)为高动态相位过程，采用泰勒级数展开，可表示为[2]：

所以信号的瞬时频率为：

其中，0θ为载波初始相位，0ω为相位一阶导数，1ω为相位二阶导数，2ω为相位三阶导数。

为了方便计算信号的瞬时多普勒频率，式（1）中的 ()rt信号可通过正弦波混频将载频去除并变换为解析形式，其表达式为：

2 Wigner-Ville分布理论

从式（2）中可以看出，相位过程()tθ是一个时变信号，所以可以将其理解为非平稳信号。而WVD是一种分析非平稳信号的有效工具，它是具有双线性形式的时频分布。为了抑制交叉项，人们提出了加窗WVD，即伪WVD（PWVD）的实现方案，PWVD计算公式为[4]：

其中， ()wl为窗函数。为了抑制镜像频率的相互影响而产生交叉项，输入信号 ()xn一般要变换为解析形式。PWVD可采用FFT来计算。

3 基于WVD的跟踪算法

3.1 基于WVD的跟踪算法结构

在低动态环境下，GPS接收机中通常采用科思塔斯环[5]（Costas）进行频率跟踪。但是在高动态环境下，由于多普勒频移很大，若单纯采用锁相环，必须增大环路带宽，而增大环路带宽又会进入大量噪声，使信噪比下降。所以可采用如图1所示的基于WVD的跟踪算法，利用WVD多普勒频率估计器估计信号的瞬时频率来辅助科思塔斯环。

图1 基于WVD的算法结构

3.2 WVD频率估计器

WVD频率估计器是算法的核心，它首先通过式（5）计算式（4）中 z(t)的PWVD，计算时为了避免调制数据 D (t)的影响，可通过数据跳变检测算法[6]，保证每次计算WVD的z(t)信号在一个符号周期内。得到 z(t)的PWVD后，然后采用峰值检测算法来确定其瞬时多普勒频率。峰值检测算法是搜索n时刻频率k中最大的 p w(n,k), p w(n,k)通过式（5）计算得到，即为该时刻的瞬时多普勒频率。实际系统中由于pw(n,k)的计算会产生延时，假定延时为m。此时，n时刻的多普勒频率应该为n - m 时刻搜索到的峰值。

4 仿真分析

计算机仿真中采用JPL实验室定义的高动态模拟环境[2]，其接收机速度轨迹见图2(a)。接收机动态含有正的和负的加加速度脉冲，其脉冲持续时间为0.5 s，幅度为100 g/s，如图2(b)所示。加速度的初始值定为-25 g，速度的初始值定为-100 m/s，载波频率定为L1波段的1.575 GHz。( 9.8g=2m/s)

图2 计算机模拟的高动态轨迹模型

根据轨迹模型，结合式（3）可以计算出每个时刻多普勒频率的理论值dω。在0～3 s时段，载体作恒定加速度运动，在3 s时刻载体速度达到最大，将此时刻对应的多普勒频率归一化为0.45 Hz，则可以计算0秒时刻的归一化多普勒频率为0.0539 Hz。在3～3.5 s时段，载体不但存在加速度，而且存在加加速度，可以将多普勒频率理解为抛物线调频信号。此时段最大归一化多普勒频率为0.4 665 Hz，其对应时刻为3.25 s。3 s与3.5 s时刻的归一化多普勒频率都为0.45 Hz。其他时段类似，这里不再讨论。

下页图3与图5分别给出了在没有噪声干扰情况下两个时段多普勒频率的理论计算曲线与WVD频率估计曲线。从图中可以看出，两条曲线几乎重合。图4与图6分别给出两个时段对应的误差曲线，其中ωˆd为WVD的多普勒频率估计值，ωd为理论计算值）。图7与图8示出了不同信噪比下的误差曲线。可以看出，当信噪比大于0 dB时，误差趋于一个很小的值。

图3 频率与时间曲线（0～3 s时段）

图4 误差与时间曲线（0～3 s时段）

图5 频率与时间曲线（3～3.5 s时段）

图6 误差与时间曲线（3～3.5 s时段）

图7 误差与信噪比曲线（0～3 s时段）

图8 误差与信噪比曲线（3～3.5 s时段）

5 结语

为了更好的对高动态环境信号进行跟踪，本文在分析高动态GPS信号模型及Wigner-Ville分布理论的基础上，设计了基于Wigner-Ville分布的高动态频率跟踪算法，可跟踪在多普勒频率、频率变化率、频率二阶导数都很大的环境；仿真分析了跟踪性能。可以得出结论:该算法在高动态环境中可以很好的跟踪GPS接收机动态信号,有效的解决高动环境下载波同步的问题。

[1] 皮世杰,黄登山,龚诚.部分匹配滤波器在高动态卫导信号快捕的应用[J].通信技术,2008,41(01):6-8.

[2] Vilnrotter V A, Hinedi S, Kumar R. Frequency Estimation Techniques for High Dynamic Trajectories[J]. IEEE Trans on AES,1989, 25(04):559-577.

[3] Kumar R. Fast Frequency Acquisition via Adaptive Least Squares Algorithm[J].IEE Proceedings,1989,136(04):155-160.

[4] 王宏禹.非平稳随机信号分析与处理[M].北京:国防工业出版社,1999.

[5] 徐长雷,蔡德林,刘晓琴.基于软件无线电的载波跟踪环研究及仿真[J].通信技术,2007,40(11):113-115.

[6] 李小民.高动态环境GPS应用中的几个关键问题研究[D].北京:北京航空航天大学,1999.