再析弯折离散傅里叶变换全通函数

罗小东， 舒 勤

0 引言

文献[1]详尽分析了弯折离散傅里叶变换在弯折参数为实数时的全通系统函数，论证了在实数情况下，无法实现采样点随弯折参数而改变。本文承接其后，运用零极点分解法具体分析了弯折参数为复数情况下的全通函数。

1 弯折离散傅里叶变换基本原理

WDFT[2]实质上是一类特殊的非均匀离散傅里叶变换NDFT（Nonuniform Discrete Fourier Transform），它是利用全通弯折函数AWF(Allpass Warping Function)将单位圆上均匀分布的采样点，变换成非均匀分布的采样点，通过选择适当阶次的全通函数[3-4]AWF（Allpass Warping Function）及其弯折参数来达到所希望的非均匀采样，从而使所选定的重要的频率范围内精度提高，不重要的频率范围内精度降低，达到不增加采样数目N便可提高系统分析精度的目的。系统的理论框图见图1。

设序列 []xn的长度为N，其Z变换和DFT变换分别为：

图1 WDFT系统的理论框图

比较上面二式可得关系式：

考虑M阶AWF的形式：

其中 A (zˆ)是关于 zˆ-1的M阶多项式，A(zˆ-1)是关于zˆ的M阶多项式。

在zˆ平面单位圆上的N点等间隔采样得到WDFT变换：

Xω(zˆ )在zˆ平面单位圆上均匀采样，由于通过全通滤波器所以在z平面单位圆上成为非均匀采样[5]。

从而全通映射函数为：

当2M=，两极点12,ρρ互为共轭时，此映射函数与文献[3]中所提及的实数弯折参数映射函数是一致的。

2 全通函数分析

通过这种全通变换可以将频率坐标弯折，在ˆz平面单位圆上均匀分布的点被映射到 z平面单位圆上的非均匀分布点。记。则：

两边同取对数有：

从而：

此式表明了频率弯折前后的角频率关系。取单极点和多极点分别仿真，结果如图2、图3所示（其中单极点为多极点分别为。后文仿真条件相同）。

由仿真图可以看出：在弯折参数幅角处，弯折曲线斜率较大，表明频率变化较快。

对式（10）进一步分析有两边同微分化简既得：

对上式进行化简处理有：因为ri＜1且 ri→1可记为ri=1-εi其中εi＞0且εi→0，则:

故（11）式可化简为：

图2 单极点频率弯折关系图

图3 多极点频率弯折关系图

对上式单极点和多极点分别仿真有：

对χ进行数学分析有：

① 比较图4、下页图5可得出：对于不同的极点，其采样间距相互间影响较小，可忽略不计。故在每个极点的幅角处，频率弯折前后比值最大，表明二者采样距离差距最大，频率弯折最为明显；

③ 有仿真图6可得出：当极点幅值相同时，在每一个极点幅角处=χ的值基本相同。而在两个周期内（甚至更多周期），其他频点处，=χ都没有达到峰值。表明弯折点ˆ只和各阶极点幅角有关，而与他们的组合叠加没有关系。

图4 频率弯折前后采样距离比（单极点情况）

图5 频率弯折前后采样距离比（多极点情况）

图6 频率弯折前后采样距离比（多极点多周期情况）

3 结语

通过对WDFT全通函数零极点分析，发现对于WDFT全通函数，在每一个极点幅角处，频率弯折前后，采样间距比值最大，表明频率弯折最为明显，可以实现通过调节弯折参数来改变弯折点的功能。对于高阶系统，每一阶弯折参数均可实现对弯折点的调节。

[1] 罗小东,舒勤,李广悦.弯折离散傅里叶变换的全通系统函数分析[J].通信技术,2009,42(07)：290-292.

[2] Cho N 1,Mitra S K. Warped Discrete Cosine Transform and Its Application in Image Compression[J]. IEEE Trans. Circuits Syst. Video Technol, 2000,10(08)：1364-1373.

[3] Markur A, Mitra S K. Warped Discrete Fourier Transform： Theory and Applications[J]. IEEE Trans.2001,48(09)：1086-1093.

[4] Franz S, Mitra S K, Schmidt J C. Warped Discrete Fourier Transform： A New Concept in Digital Signal Processing[C].USA：IEEE, 2002：1205-1208.

[5] Venkataramanan,Prabhu K. Estimation of Frequency Offset Using Warped Discrete-Fourier Transform[J]. Signal Processing,2006(07)：250-256.

[6] 马晴,舒勤.弯折离散傅里叶变换的研究和应用[D]. 四川：四川大学,2008.