基于曲线拟合单位线法的桥梁水害预测

崔阳华，文雨松

(中南大学 土木建筑学院，长沙 410075)

1 问题的提出

近年来桥梁事故时有发生，从调查结果来看，这些桥梁很少是被车辆荷载破坏的，往往是被洪水冲毁的。据交通部1995～1997年统计[1]，这三年我国平均每年公路水毁的直接经济损失达52亿元，其中水毁桥梁达3945座。2006年截至8月8日，广东省公路中断1149处539条，其中国省道中断383处121条;桥梁冲毁113座，局部毁坏638座。2007年，我国南方省份公路、桥梁等交通基础设施水毁严重。据交通部初步统计，截至7月中旬，全国共18个省(区、市)发生公路水毁，先后有3条高速公路、79条国道、409条省道出现局部交通中断，造成经济损失几十亿元。

由于许多既有桥梁已建年代久远，用一般方法鉴定其抗洪能力时，收集水文资料存在很大的难度。即使是保存有原始的水文资料，由于修桥后经长期运营和自然演变，其周围的自然环境，包括地形、地貌及植被等，都已经发生了变化[2]，设计桥梁时的水文资料也不能很好的表征现在的河流状况，难以进行水害预测。因此，在缺乏水文实测资料的不利因素下，能否寻求一种比较简便的方法，用于既有中小桥水害预测，是人们非常关心的问题。

现行中小桥抗洪能力预测方法普遍采用从雨量到流量、再从流量到水位的方法。对于求流量的方法，根据桥梁所在地，有地区经验公式法、推理公式法、单位线法、铁路设计院法等[3]。对于由流量推求水位的方法，多采用谢才—满宁公式计算。这种方法需要确定过水断面面积 A、水力比降 i、糙率系数 n等参数[4]，劳动强度大、收集困难多。特别对于很多没有水文观测站的中小桥，由于资料的缺乏，实现难度很大。在《基于水位单位线和桥墩水痕的既有中小桥水害预测》[5]一文中，提出了水位单位线法，克服了许多中小桥缺乏实测资料的不利因素，而且比较简便。

从降雨到洪水的形成，往往需要一定的时间，即造峰期。而在洪灾发生前的这段时间就非常珍贵，如果在灾害发生前，能提前几分钟甚至几小时做出预测，并及时防护，就可以挽救很多宝贵的生命和减少灾害对国家财产造成的重大损失。

但是文献[5] 方法求得的都是整数时段的水位值，并且间隔时间过长，一般都在3 h以上。在实际情况中，会出现最大水位值在两个整数时段中间的情况，这样上述方法关于时间的预测就不是很准确，对于桥梁水害预防来说有很大影响。

基于上述原因，本文从单位线法公式出发，提出了一种以曲线拟合单位线为基础推求洪水到达时间的新方法。即利用实测水位和雨量，拟合出以水位和时间为记录对象的水位单位线，再利用计算出的水位单位线直接预测洪水水位的到达时间，在洪水到来之前的这段宝贵时间内就可以进行合理的防灾调配，对有危险的桥梁进行保护。

2 曲线拟合单位线法的推导

参照单位线的两个基本假定，仍认为水位单位线服从两个基本假定。根据水位过程线的形成过程，水位单位线的推求可依下式进行:

式中 Hi——流域出口断面i时刻水位值，单位 m;

Rj——流域上 j时刻净雨量，mm;

hi－j+1——水位单位线(i－ j+1)时刻纵坐标，m;

l——流域出口断面水位过程线时段数，l=n+m－1;

m——净雨时段数;

n——水位单位线时段数。则有如下线性方程组

其中用［R］来表示系数矩阵(净雨量)，用［h］来表示未知数向量(单位线)，用［H］来表示水位过程向量，求解方程组式，其解为

式中的［R］T为［R］的转置。

最小二乘法推求的单位线数值，可得到误差最小的唯一解。但是仍可能出现单位线呈锯齿跳动，或出现负值的不合理现象，并且极值不在整数时段上的情况，所以应对其修正。这里采用拉格朗日插值和用多项式作最小二乘曲线拟合的方法[6]。

首先进行最小二乘曲线拟合，设拟合的曲线方程为

对全部数据进行拟合的话，很可能会出现最大值不在所求曲线方程上的情况，所以，选取hmax附近的5个点进行拟合，采用高斯—若当全主元消去法可求得方程组的解，则最小二乘数据拟合多项式为

拉格朗日插值多项式对非线性曲线上的任意x值可以求得其对应的函数值，并且达到一定的精度，设插值多项式为

分别代入 (t0，h0)…(tmax－2，hmax－2) 和 (tmax+2，hmax+2)…(tn，hn)，即可求得 Ln1(x) 和 Ln2(x)，与前面的所得方程，即为水位单位线。

由水位单位线[7]，在降雨来临的时候，只要获得未来雨量的预测值，就可以确定相应的水位值，而且根据水位与时间的对应关系，就可以得出每个水位到来的时间，进行水位与时间预测。

3 水位单位线法预测实例

浙江某县水文站的一场洪水，有2个时段降雨，计算时段长Δt=3 h。由流量资料，得知实际上洪峰可能为9～12 h或12～15 h之间到达，但是具体的时间确定不了，即使确定了，时间间隔也很大。下面用新方法进行计算，见表1。

选取计算出的单位线数据，进行拟合，得到以下方程[8]

此为拟合出的水位单位线的曲线方程，选取适当的点，得到单位线的图形见图1。

表1 最小二乘法推求单位线数值

当有了以上所得结果，在工作中，当得知雨量的时候，可以由水位单位线推出洪峰到来的时间为11个小时之后，水位为19.477 8 m，时间和水位值相比于以前的方法都更加精确。如洪水超过了设计水位，就可以提前做好救灾物资调配，安排好抗洪抢险队伍，进行有效的桥梁水害预防。

图1 对数据拟合得到的水位单位线

有了水位单位线，就可以对此桥新的雨量进行洪峰预测。某日有3个时段降雨，计算时段长Δt=3 h，见表2。

表2 实测净雨和水位数据

经计算，预测洪峰为13 h之后到达，洪峰水位为18.729 92 m，与实际洪峰水位相符(见表3)，而且可以看到，相对误差控制在10%以内，可以满足实际要求。

4 结论

1)为了解决其他方法存在的时间间隔大、洪峰可能漏测的问题，本文首次提出了曲线拟合单位线法。如果需要，在时间上甚至可以精确到10 min。

表3 预测水位和时间

2)本文采用最小二乘法和拉格朗日插值法进行曲线拟合，概念清晰。因为得到了曲线函数，所以可以预测出洪峰的到来时间。相比于以前的方法时间间隔短，拟合出的数据对灾害预防更加有实际意义。特别是高水位区，相对误差绝对值控制在10%以内，能够满足实际生产的要求。

3)本文在水位单位线法不用收集流域面积、流域坡度、主河道长度、河床糙率、桥位断面数据等优点的基础上，水位和时间计算更加准确，此方法具有更高的实用价值和更广阔的应用前景。

[1] 黄朝迎，张清.暴雨洪水灾害对公路交通的影响［J］.气象，2000，26(9):12-14.

[2] 王中强，文雨松.原始断面的模糊识辨方法［J］.长沙铁道学院学报，2002，20(3):30-34.

[3] 文雨松.桥涵水文［M］.北京:中国铁道出版社，2005.

[4] 廖松，王燕生，王路.工程水文学［M］.北京.清华大学出版社.1991.

[5] 曹二星，文雨松.基于水位单位线和桥墩水痕的既有中小桥水害预测［J］.铁道建筑，2008(9):22-25.

[6] 肖筱南.现代数值计算方法［M］.北京:北京大学出版社，2003.

[7] 庄一鸽，林三益.水文预报［M］.北京:水利电力出版社，1986.

[8] 沈剑华.数值计算基础［M］.上海:同济大学出版社，2005.