一般6-SPS并联机构运动学正解的解析化方法

程世利 吴洪涛 王超群,2 姚 裕 朱剑英

1.南京航空航天大学,南京,210016 2.南京农业大学,南京,210031

0 引言

一般6-SPS并联机构是指动静平台均为平面任意六边形,且两平台通过6条腿进行驱动和控制的并联机构。6-SPS并联机构的运动学正解问题至今为止仍没有得到圆满解决。求解该问题的主要方法有解析法和数值法[1]。解析法求解可以得到全部的运动学正解,适合进行理论分析,但是其求解过程极其复杂[2]。在过去的十几年中,国内外众多学者采用不同的方法对这一问题进行了研究,得出了一般6-SPS并联机构运动学正解具有40个解的结论[3-6]。Zhang等[7]通过求解一个21阶的系数行列式得到了一元20次代数方程。Wu等[8]通过构造15个相容方程,求解15阶的系数行列式,也得到了一元20次代数方程。文献[9-10]分别通过Gröbner基得到了15个相容方程,求解15阶的系数行列式,同样得到了一元20次代数方程。这些方法中求解的系数行列式无论是21阶还是15阶,其计算速度均难以满足工程应用的需要,系数行列式的阶数还需要进一步降低。

借鉴文献[10-11]的方法,结合独立研究的成果,笔者提出了一种求解一般6-SPS并联机构运动学正解的解析化方法。将9个变量中的6个变量用其余的3个变量表达;利用Gröbner基算法,增加9个方程,从而使得用于问题求解的相容方程达到15个;采用正交补消元法进行逐步消元,最终通过求解一个10阶系数行列式,将一般6-SPS并联机构运动学正解问题表达为一元20次的代数方程。

1 基本定义

一般6-SPS并联机构如图1所示,动静平台的6个球铰中心分别位于两个平面之中。在这两个平面上分别取一点O′、O作为动静坐标系的坐标原点。Z′轴、Z轴分别垂直于各自的平台平面,动坐标系 O′X′Y′Z′与动平台固连 ,静坐标系OXYZ与静平台固连。

图1 一般6-SPS并联机构示意图

为了研究问题的方便,旋转矩阵采用方向余弦矩阵R来描述：

动坐标系坐标原点在静坐标系中的位置矢量P=[PxPyPz]T,则一对顶点之间的连杆矢量为

式中,lk为杆k的长度;ek为杆k的方向单位矢量;ak为动平台顶点在动坐标系中的矢量;bk为静平台顶点在静坐标系中的矢量。

对式(2)取矢量的模,就有杆长的标量方程式。显然,将其平方展开之后,由于动平台顶点与静平台顶点为平面布置,所以a k、b k的Z分量为零,设W=[WxWyWz]T是P在动坐标系中的矢量表达式,则得到平方杆长的方程式(为了表达简洁,略去下标k)：

2 运动学正解的消元过程

2.1 主次变量的线性表示

式中,Aa0∈ R6×6,Aa1∈ R6×4为系数矩阵。

现在就可以通过式(5)将η1中的分量用η2中的分量表达出来：

由式(6)可以看出每一个主变量均与3个次变量存在着线性关系。在式(6)中,cij(i=1,2,…,6;j=0,1,2,3)为由动静平台的顶点坐标和杆长决定的参数,对于一个具体的问题,当杆长给定以后它们都是常数。

2.2 基本相容方程

由于旋转矩阵 R是正交矩阵,所以有如下关系：

通过对式(4)、式(6)及式(7)进行不同的组合后就得到了6个只含有 ξ6、ξ7、ξ9三个变量的四次方程式：

2.3 基于Gröbner基的相容方程

Buchberger引进的Gröbner基方法是多项式消元的高效率手段[12]。Gröbner基的基本思想是,在原非线性多项式系统所构成的多项式环内,通过对变量多项式的适当排序,求多项式的S-多项式并进行约简和消元,最后生成一个与原系统完全等价且便于直接求解的三角化标准基[10]。借助于这个思想可以找到更多的相容方程来求解并联机构的运动学正解问题。

在科学计算软件Mathematica中提供了基于Buchberger算法的指令。在这里对相容方程eq1～ eq6求Gröbner基,变量的分次字典序列为,在所求得的基中选取阶数不高于四次的9项来解决并联机构的运动学正解问题：

采用不同的分次字典序得到的Gröbner基的数量也是不同的,但是对于确定的分次字典序,Gröbner基的数量是确定的,顺序也是确定的。

2.4 正交补消元

本节研究应用正交补方法进行消元,将一般6-SPS并联机构的运动学正解表达为一元20次代数方程。具体思路是先用1、ξ7和ξ9分别乘以eq 1～eq 15这15个方程,这样方程的总数就变为45,但同时ξ7和ξ9最高的次数升高到了5;然后将ξ6作为保留变量,消去ξ7和ξ9,最后可以得到只含有ξ6的一元20次代数方程。

将45个方程简写为矩阵的形式,就有

经过研究发现,M 1中元素是ξ6的四次多项式,M 2中元素是ξ6的一次多项式,M 3中元素是ξ6的零次多项式,即M3是常数矩阵。现在的主要任务是采用正交补消元的方法,不仅要把λ2、λ3消去,还要把M 1中的关于ξ6的三次项和四次项消去。

具体计算是采取逐步消去的方法,最终得到关于 λ1的方程组：

或者简记为

其中,M ∈R20×10,为常数项矩阵,N11为M中的系数矩阵为M中的系数矩阵。

计算表明,M的每个元素都是ξ6的二次多项式,任取M中的10行记为M s,根据齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式为零,则有

通过式(21)就可以得到关于ξ6的一元20代数方程。Ms的阶数为10,可以在计算软件中直接使用det命令求解,而且计算速度也是令人满意的。在方程的阶数上尽管同样是20次,但是本文算法可以直接给出关于位姿变量的一元20次方程的表达式,而且计算速度快,这是区别于其他算法的优势。关于位置与姿态的其他分量,可以很容易地由本文有关公式及旋转矩阵的正交性计算得出。

3 运动学正解数值算例

在本节中用一个具体的计算实例来验证本文方法的正确性。动静平台顶点的坐标参数来源于文献[10],如表1所示。由于是平面布置,所以Z坐标分量为零。

表1 动静平台坐标参数

为了方便地确定算法的正确性,先计算一组反解,用得到的杆长条件进行正解计算。旋转矩阵R为

动平台位置矢量P=[6 7 8]T。经过反解计算得到的杆长如下：l1=12.3607,l2=10.9525,l3=14.5091,l4=18.7247,l5=18.2090,l6=18.0355。

按照本文所提出的算法进行并联机构运动学正解的计算,便可以得到关于ξ6的一元20代数方程。由于M ∈ R20×10,便导致M s有多个,即最终的一元20次方程有多个。本文取了其中的8个,它们在[-1,1]之间的曲线如图2所示,其中一条曲线的代数方程如下：

图2 ξ6的曲线示意图

经过计算可以得知,这8个方程具有相同的根,它们是-3.995 760,-3.623 640,-2.271 930,-0.894 215,-0.725 021,-0.240 800,-1.303 730-2.675 810i,-1.303 730+2.675 810i,34.426 100-5.284 850i,34.426 100+5.284 850i,0.663 737,0.731 804,1.188 710,1.228 070,28.722 700,35.962 100,1.196 870-0.568 458i,1.196 870+ 0.568 458i,0.628 531 -0.755 161i,0.628 531+0.755 161i。

由旋转矩阵 R可知,ξ6初始设置的值为-0.240 800,方程中的根包含了这个值,这表明本文的算法是完全正确的。受篇幅所限,位置与姿态的其他分量计算以及装配模式从略。

4 结束语

本文提出了一般6-SPS并联机构运动学正解的解析化方法。运用Gröbner基算法,扩充了9个相容方程,使得相容方程增加到15个。这些增加的有用信息,对于解决问题是有帮助的。基于这15个相容方程,应用正交补方法,通过求解一个10阶行列式将一般6-SPS并联机构的运动学正解问题表达为一元20次的代数方程。

如果动静平台的顶点布置方式取为目前应用较多的类型,也就是它们均对称地布置圆周上时,应用本文所提出的算法,将得到更优的结果。最终一元高次方程的阶数将会低于20次,关于这方面的问题将另文研究。

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