啮合过程中人字齿行星传动齿轮齿根弯曲应力计算方法

常乐浩 刘 更 吴立言 徐医培

西北工业大学,西安,710072

0 引言

行星齿轮减速器多采用大螺旋角及大齿宽的人字齿传动,具有较大的重合度。随着齿面啮合位置和啮合节点载荷分配的变化,齿根的弯曲应力是不断变化的。因此,计算出整个啮合过程中变化的弯曲应力,才能满足齿轮动强度与可靠性的要求。自20世纪70年代以来,国内外学者利用有限元法对齿轮弯曲应力的计算进行了很多研究[1-5],计算了啮合过程中变化的弯曲应力和应力极值。但这些研究主要存在以下方面的局限性：①轮齿的几何模型大多存在较多的近似处理(如以圆角代替过渡曲线),模型不够准确;②分析多集中在直齿轮和小螺旋角的斜齿轮,对大重合度的人字齿轮研究较少;③齿轮载荷分布多沿啮合线平均分配,不能反映真实的啮合情形;④计算多为某一个啮合位置下的轮齿应力,尚不能真实地得到高重合度齿轮最危险的齿根应力。

如需校核大重合度人字齿轮的弯曲强度,须计算一个啮合周期中弯曲应力随时间的变化历程。这就必须建立更为准确的齿轮三维模型,同时计算出齿轮在不同啮合位置下的载荷分配。本文将对这些问题进行研究,并提出适合行星传动系统的齿轮弯曲应力计算方法。

1 齿轮参数化模型的建立

文献[6]根据齿轮范成加工原理,通过刀具坐标系和齿面坐标系间相应的转换关系,推导出了被加工齿轮的渐开线和过渡曲线的方程。根据已知的方程,利用三维建模软件可对齿轮进行精确的建模。本次计算用到的齿轮基本参数如表1所示,建立的完整参数化模型如图1所示。其中太阳轮右端为齿式联轴器的一部分,与输入轴相连;行星轮个数为3;内齿环外侧为花键齿,两个结构对称的内齿环构成一组内齿轮,与组合齿圈等组件相连。

表1 各齿轮的基本参数

图1 各齿轮的完整模型

2 载荷分配的计算

齿轮啮合时啮合齿对的数目是变化的,各轮齿间的载荷并非平均分配。对于直齿轮或小螺旋角的斜齿轮,多采用经验公式计算不同时刻轮齿间的载荷分配。然而对大重合度的人字齿而言,经验公式的计算结果通常不够准确,所以必须寻找更为合理准确的方法。

卜忠红等[7]提出了一种计算斜齿轮副啮合刚度和载荷分配的新方法。该方法首先通过有限元计算得到齿面的柔度系数,再运用线性规划法进行处理,可求出人字齿轮副在不同啮合位置下的啮合刚度,并能得到各条接触线上的节点坐标和节点载荷。本研究中,外啮合齿轮副的每个基节被划分为8个啮合位置,前4个啮合位置在五齿啮合区,后4个啮合位置在四齿啮合区,整个齿面共有36条接触线;内啮合齿轮副的每个基节被划分为7个啮合位置,前4个啮合位置在五齿啮合区,后3个啮合位置在四齿啮合区,整个齿面共有32条接触线。

系统输入功率为36 775k W,输入转速为3150r/min,每对外啮合副的法向总载荷为237.6k N,每个内齿环啮合副的法向总载荷为118.8k N。按文献[7]计算得到太阳轮单侧单齿和内齿环单齿所受的法向载荷历程,如图2所示。图2中,端面基节比T为轮齿从进入啮合到某一啮合位置所经过的基圆弧长与基圆齿距的比值,数字4和5代表该位置时的啮合齿对数。通过图2还可得到在不同啮合位置下,传动载荷在各啮合齿对间的分配。行星轮单齿载荷历程取与太阳轮的载荷历程相同。由于接触线较多,故在此不详细列出各接触线上的载荷分布情况。

图2 单齿的法向载荷历程

3 齿根弯曲应力的计算

3.1 计算模型

由于该行星齿轮传动的齿轮重合度较大,同时啮合的轮齿多达4～6个。对重合度在4～5之间的齿轮副,单个轮齿在整个啮合过程中先后要与9个不同轮齿啮合。以人字齿太阳轮为例,它与行星轮共有3处啮合,因此在完整啮合过程中先后有54个轮齿参与啮合。完整啮合过程的计算要涉及36或32个不同的啮合位置。因此,若采用完整模型计算不同啮合位置时的齿根应力大小,必须将所有涉及轮齿都进行密化,其计算量将十分庞大。为此,在保证计算精度的条件下,通过适当简化计算模型,减小有限元计算规模,实现整个啮合过程中齿根应力的计算。

通过试算我们发现,某个轮齿的齿根应力主要受到本身及其相邻的2个齿上所承受的啮合力的影响,而与其相邻较远的齿上的啮合力对该齿的齿根应力的影响非常小,可以忽略。所以为了完成上述大规模计算,将太阳轮、行星轮和内齿环模型统一处理为下述的五齿模型：只保留一处相互啮合时的5个齿,并在中间的3个齿上加载,另外2个齿保留齿轮的完整性;其余未啮合轮齿均以节圆圆柱面代替。太阳轮的简化模型如图3所示。

图3 简化的模型

3.2 边界条件的施加

由于采用简化模型,所以边界条件也需进行相应的改变。

(1)太阳轮。花键处施加周向位移约束,以代替太阳轮与输入轴连接的花键。

(2)行星轮。轴孔处施加径向位移约束,以代替行星轮与行星轴之间的作用。

(3)内齿环。对外侧花键节圆面上所有节点进行全约束,以代替内齿环与组合齿圈的作用。

对因简化模型而忽略的齿轮啮合副,可以在相应位置的节圆面处施加固定约束,以代替该位置处的啮合作用。太阳轮的简化有限元模型如图4所示。

图4 太阳轮简化有限元模型

3.3 计算过程

下面以太阳轮为例介绍求解整个啮合过程中齿根应力的过程。

太阳轮与行星轮啮合的总重合度为4.3504,一个基节内啮合位置的总数nmesh=8,接触线总数n line=36。用图5表示简化的齿轮模型。将5号齿定为关注对象,1～9号齿为在整个啮合过程中先后与5号齿啮合的轮齿,其中4、5、6号齿为参与本次计算的轮齿,用实线表示,其余轮齿用虚线表示。观察轮齿5从进入啮合到退出啮合整个啮合过程中齿根弯曲应力的变化。

随着经济全球化和世界多极化的发展，中国认为维和行动有助于全球经济的健康稳定增长。②在综合实力不断提高的基础上，中国对联合国维和行动的贡献越来越大，已全面深入地参与到维和、发展、人权、裁军、环保等多个领域的联合国事务中，成为联合国维和行动的坚定支持者和积极参与者。

利用Pro/E与ANSYS接口程序,将齿轮模型导入ANSYS中,设定单元类型和材料属性,并划分有限元网格。为了得到较为精确的结果,需在轮齿4、5、6的齿面和齿根进行网格密化。载荷及位移边界条件的施加过程如下：

图5 齿轮简化模型示意图

如图5所示,K=i(i=0,1,2,3,4)表示5号齿在某个时刻已经历的完整基节数目。K=0时,1～5号齿参与啮合;K=1时,2～6号齿参与啮合,依此类推。K每改变一次,太阳轮与另两个行星啮合处施加的固定约束就要旋转一个轮齿的角度。

用变量k mesh表示一个基节内啮合位置的顺序,其值从1～n mesh变化。设5号齿上接触线编号为mesh num,mesh num=Kn mesh+k mesh,通过改变K和k mesh,可保证 mesh num从1到n line变化。meshnum=1表示该齿在进入啮合临界点;mesh num=n line表示该齿在退出啮合临界点。比5号齿提前一个基节进入啮合的4号齿上的接触线编号为meshnum+nmesh,比5号齿延迟一个基节进入啮合的6号齿上的接触线编号为mesh numn mesh。计算时只在 4、5、6号齿上进行加载,忽略其余齿的载荷。若4号和6号齿上接触线编号小于0或大于n line,表明该齿未处于啮合状态,将不施加载荷。

太阳轮的整个计算过程共需要36次静力学计算。计算过程中,可采用ANSYS的APDL语言控制实现载荷和约束的自动施加,并实现多次循环计算。每步计算结束时,提取出所需节点的应力值,并保存入数组。在循环计算完成后,可在ANSYS中进行数据处理,实现结果的自动保存。计算的流程如图6所示。

4 计算结果及分析

通过计算,可得到所关注轮齿在整个啮合过程中最大应力的变化历程,如图7～图9中的a图所示,图中的数字4和5代表该位置时的啮合齿数。找出最大应力的极值点编号后,从结果中选出该节点在其他啮合位置下的应力,其变化历程如图7～图9中的b图所示。图10给出了在最大弯曲应力发生的啮合位置下,各接触线上的载荷分布情况,图中数值为该接触线上节点载荷的最大值。

图6 计算流程图

图7 太阳轮各啮合位置下的应力

分析图7～图10,我们可以看出大重合度齿轮的齿根应力有如下特点：

(1)轮齿在刚进入啮合时,承受载荷较小,齿根应力也较小。随着啮合时间的增加,齿根应力也会很快地达到较大值,由于人字齿啮合齿对较多,齿根的最大应力在啮合齿数交替时变化并不明显,因此传动更为平稳,应力波动较小,如图7～图9中的a图所示。

图8 行星轮各啮合位置下的应力

图9 内齿轮各啮合位置下的应力

图10 最大应力时各接触线上的载荷分布

(3)应力极值点一般出现在整个啮合过程的中期,即接触线最长的时候(见图10),且应力有“低-高-低”的变化趋势(见图7～图9中的b图),这与实际情况也较为吻合。经辨认,这些点可能出现在轮齿边缘的齿根处,也有可能出现在轮齿中段的齿根处。

(4)对直齿轮而言,应力极值点一般为少齿啮合区的上界点,但对大重合度的齿轮而言,应力极值点可能出现在多齿啮合区,如表2所示。

表2 各齿轮的应力极值情况

(5)从图10可以看出在最大应力产生时,考察齿在产生最大应力时,其接触线上的最大节点载荷并不一定是该时刻所有齿对节点中载荷的最大值。这时因为齿根应力不仅要受到接触线上节点载荷的影响,同时与啮合位置有关,齿根产生最大弯曲应力的时刻难以直接得到。

5 结论

(1)本文在对齿轮进行了精确的三维参数化建模的基础上,利用线性规划法求解了齿轮副在啮合过程中各位置的载荷分配。本方法可以实现齿轮在整个啮合过程中各啮合位置的自动计算和结果处理,得到最大应力点的位置及其应力变化过程。

(2)人字齿在整个啮合过程中的弯曲应力波动较小,最大应力一般出现在考察齿承受最大载荷的时刻附近。

(3)由于各接触线的载荷分配并不均匀,所以不同啮合位置对齿根的作用无法直接预测,导致人字齿轮的齿根最大弯曲应力点可能出现在少齿啮合区,也可能在多齿啮合区。

(4)应力极值点在整个啮合过程中的应力变化曲线与法向载荷历程的趋势较为吻合。

[1] Ramamurti V,Anada Rao M.Dynamic Analysis of Spur Gear Teeth[J].Computers and Structures,1988,29(5)：832-843.

[2] 顾守丰,连小珉,丁能根,等.斜齿轮弯曲强度三维有限元分析模型的建立及其程序实现[J].机械科学与技术,1996,15(2)：167-171.

[3] 徐步青,佟景伟,李鸿琦,等.移动载荷下齿根应力的时间历程[J].机械传动,2001,25(3)：21-24.

[4] 包家汉,张玉华,胡晓丽.基于啮合过程的齿根应力仿真分析[J].机械传动,2005,25(1)：19-22.

[5] 刘更,方宗德,沈允文.斜齿圆柱齿轮轮齿动态响应的研究(第三部分动位移及齿根动应力)[J].齿轮,1990,14(2)：20-27.

[6] 蒋孝煜,高维山.有限单元法在齿轮弯曲应力计算中的应用,QH 79013[R].北京：清华大学,1979.

[7] 卜忠红,刘更,吴立言,等.基于线性规划法的齿轮啮合刚度与载荷分布计算的改进方法[J].机械科学与技术,2008,21(11)：1365-1368.