惯性矩转轴公式的几何法研究

陈合龙，邱战洪

（台州学院 建筑工程学院，浙江 台州 318000）

惯性矩转轴公式的几何法研究

陈合龙，邱战洪

（台州学院 建筑工程学院，浙江 台州 318000）

截面的惯性矩（积）是重要的截面参数，是进行工程构件设计的依据。惯性矩（积）转轴公式常用于计算当坐标轴发生旋转时截面的惯性矩（积）、计算主惯性矩，是材料力学的重要知识点。但转轴公式并没有指出最大主惯性矩和最小主惯性矩对应的轴的位置。定义了广义惯性积，重新研究了转轴公式，得出更为直观的转轴公式的惯性矩圆表示方法，该方法简单、概念明确，不失为转轴公式的重要补充。

惯性矩；广义惯性积；转轴公式；惯性矩圆

0 前言

转轴公式是材料力学的一个重要内容。在现行材料力学教材中［2，3］，转轴公式可以计算当坐标轴发生旋转时截面的惯性矩（积）、主惯性矩，并结合移轴公式，算得截面的最大和最小惯性矩。但是，传统教材并没有进一步利用转轴公式来确定最大和最小惯性矩对应的轴的方位，因为直接运用方程来解决这个问题比较冗繁复杂，而在杆件稳定性分析中，这是关键性的问题［1］。因此，本文定义了广义惯性积，之后顺利地引出惯性矩圆，研究发现，利用惯性矩圆不仅可以确定当坐标轴发生旋转时截面的惯性矩（积）的变化规律，而且能直观地找出截面的最大和最小惯性矩对应的轴的位置。该方法直观，概念明确，不失为材料力学的相关知识点的补充。

1 截面的惯性矩和广义惯性积

以图1所示截面为例，截面面积为A，在截面所在平面上任意建立坐标系xoy，定义积分：

（1）式和（2）式分别称为截面对于x轴和y轴的惯性矩。定义积分：

（3）式和（4）式称为截面对轴 xy 的广义惯性积。式中，τ（xy）为排列“的逆序数，τ（yx）为排列“yx”的逆序数。不妨假定 x 的序号为 1，y 的序号为 2，则下标“xy”的逆序次数为 0，即，而下标“yx”的逆序次数为 1。因此（3）（4）两式可改写为：

图1 任意截面

2 转轴公式、惯性矩圆、主惯性轴

2.1 转轴公式

当坐标系转动时，惯性矩和惯性积会发生变化。如图2所示，坐标系x1o1y1相对于坐标系xoy逆时针转动了角度α，已知截面对于坐标系xoy的惯性矩和广义惯性积：求对于坐标系x1o1y1的惯性矩和广义惯性积：

图2 坐标系相对转动

上式就是含有广义惯性积的转轴公式。

2.2 惯性矩圆

图3 惯性矩圆

2.3 主惯性轴

观察惯性矩圆（图3）可以发现，圆的一条直径位于横轴上，也就是说，存在这样一个坐标系，截面对于它的惯性矩中一个最大，一个最小，广义惯性积为零，称这一对坐标轴为主惯性轴，对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩，如果主轴通过截面中心，则称为中心主轴。不难求出

那么将坐标系xoy顺时针旋转角度α0，便得到坐标系x′o′y′，且截面对于轴x′的惯性矩Ix′最大，对于轴y′的惯性矩 Iy′最小。通过 Ix-Iy、Ixy的正负号判断 2α0属于第几象限，例如 Ix-Iy<0、Ixy＞0，则 2α0属于第二象限。

如果截面有对称轴，显然，此对称轴和与其正交的轴一定是主轴，因为截面对于此轴系的惯性积为零。

3 结语

本文以惯性矩（积）转轴公式为研究对象，利用公式中隐含的特征，运用解析几何的方法，并根据需要定义了广义惯性积，利用惯性矩圆重新探讨了转轴公式，使转轴公式的含义更清晰，概念更明确，新方法比传统的转轴公式更易于理解。

［1］费奥多谢夫著.维成蒋译.材料力学［M］.北京：高等教育出版社，1985：113-121.

［2］孙训方，方孝淑，关来泰.材料力学［M］（第五版）.北京：高等教育出版社，2009：336-340.

［3］（美）希伯勒.汪越胜等译．材料力学［M］.北京：电子工业出版社，2006：635-638.

［4］李炯生，查建国．线性代数［M］．合肥：中国科学技术大学出版社，1989：57-75.

Research on Transformation Equations of Moments and Products of inertia with Geometry

CHEN He-long，QIU Zhan-hong
(School of Architectural Engineering Taizhou University，Taizhou 318000，China)

The moments and products of inertia of a plane area are important parameters for section and the section designing basis. The transformation equations of moments and product are used to determine the new values of the moments and products of inertia and the Principal axis of inertia when the axises are rotated,but the maximum and minimum principal axis of inertia are not definite. This article defines the generalized products of inertia and derives a new type of transformation equations,and it appears that Using a circle to interpret the transformation equations is a better way.

moments of inertia；generalized products of inertia；transformation equations; circle of moments of inertia

周小莉）

O345

A

1672-3708（2010）03-0054-04

2010-04-23；

2010-05-08

陈合龙（1983- ），男，湖北大冶人，硕士，助教，主要从事工程力学研究。

book=57,ebook=204