数学教学中的分类思想

夏中仁

数学“学”什么？方法和思想。在初中数学学习过程中，通过对所学知识的掌握、理解以及应用，处处体现了数学的基本方法和思想。

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。教学中可以从以下几个方面，让学生形成对分类思想的主动应用。

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

学习了负数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到按不同的标准，有不同的分类方法，认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，各子项是互相排斥的。如若不然，对象混杂，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是分类标准不统一的体现。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

掌握用分类讨论思想解题的关键，在于搞清楚哪些情况下会引起分类讨论。下面就引起分类讨论的一些常见情况作一归纳：

1.根据数学的概念进行分类。有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

如：①按绝对值的意义进行分类。在化简|a－b|时，须分为a>b、a=b、a

2.根据图形的位置关系或形状的变化分类。三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、相切、相交三种位置关系等。例：①已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，求腰上的高。

分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高，可得两解。

②证明圆周角定理。圆心的位置有三种情况：角的边上、角的内部，角的外部。先证明第一种，然后通过作过圆周角顶点的直径，分别证明了另外两种情况，从而包含了所有位置情形的圆周角。它是根据图形的点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。

3.根据条件的开放分类。有些题目中的条件开放，致使求解结果不唯一，若对这类问题考虑不全面，时常发生漏解现象。

例：甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒钟跑6米，甲的速度是乙的4/3倍。现在甲、乙两人在跑道上相距8米处同时出发，问经过多少秒钟后，两人首次相遇？

分析：①本题不明确甲、乙两人是同向还是反向跑步。②如果同向未知谁在前谁在后，如果反向也未确定两人是相向还是相背，所以解题时应分类讨论，逐一求解。

三、引导分类讨论，提高合理解题的能力

课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：一是涉及代数式、函数或方程中，根据字母在不同的取值范围内讨论解决问题。二是根据图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。

例：已知函救y=（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：这里从函数分类的角度讨论，分m-1=0 和m-1≠0 两种情况来研究解决问题。

解：当m＝l 时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

当m≠1 时，函数就是一个二次函数y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1。

当△＝（m－2）2+4（m－1）=0，得m=0。

抛物线y=－x2－2x－1，的顶点（－1，0）在x轴上。

综上所述：m的值为0或1。

由以上几例，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得简单、解题思路清晰、步骤明了，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来将产生深刻和久远的影响。