数学活动的“数学化”策略

黄建才

数学活动的本质特征是“数学化”,弗赖登塔尔有句名言:与其说是学习数学,还不如说是学习“数学化”。因此数学教学不能让学生的头脑成为知识的容器,不能让学生只做机械的而无内涵、无意义的运算操练。我们更重要的任务是必须教会学生能运用自己的数学思维,对学习内容进行加工、整理,学会用正确的数学语言来组织并表达数学的现实内容及内在联系,从而形成严谨的体系,也就是必须让学生学会“数学化”。

一、把握学生认知起点——层层推进法

“数学活动是学生自己建构数学知识的活动”,而课堂活动的资源又往往都是随着教学过程的逐步推进而自然生成的,教师如何紧密地联系学生的生活环境,从学生已有的经验和已有的知识出发,创设生动的教学情景,是学好数学的关键。如教学《三角形三边的关系》,这课的教学难点是:准确理解“三角形任意两边之和都大于第三边”,尤其是对其中“任意”两字的理解更加困难。可以这样组织教学:

1.动手操作,初识“规律”。

教师提供两根小棒,一根10cm,另一根7cm。在此基础上,组织学生在纸上画出一条线段,当做第三根小棒,拼搭三角形。学生反馈出各种能拼搭成三角形的情况,以及验证在什么情况下是无法拼搭成三角形的,但此时的发言是比较零散的。

2.再次操作,完善“规律”。

当学生初步发现规律后,让学生再次亲自动手操作,在验证上述“规律”的同时,让学生通过探索逐步完善“规律”。此时抛出问题:“怎样的三根小棒才能拼成一个三角形呢?”

3.抓住矛盾,感悟“任意”。

提供两组数据“1cm、2cm和3cm”和“3cm、4cm和5cm”,组织学生进行讨论、交流,判断这两组小棒能否拼搭成三角形?当学生回答因为1+2=3,所以第一组的三根小棒是不能拼成三角形的;而3+4>5,所以第二组的三根小棒是能拼成三角形的时候,教师故意挑起矛盾:1cm与3cm两根小棒的长度之和不也大于2cm吗?以此激发学生展开探究:能拼成一个三角形的三根小棒到底有怎样的关系?即对于“1cm、2cm和3cm”三根小棒来说:1+2=3,1+3>2,2+3>1;而对于“3cm、4cm和5cm”三根小棒来说:3+4>5,3+5>4,4+5>3。此时,学生就能体会到“每两根小棒的长度之和都大于第三根”。可能学生仍然无法说出“任意”两字,但并不重要了,因为在学生的内心深处已经深深地感悟到了“任意”的内涵。

这个过程在操作、思考、表达、完善中进行,学生体验感悟是深刻的,有懵懂的表达,有独特的见解,有思维的深度,更有交流的精彩。学生在层层推进中,不断地完善自己的认知结构,感悟到“任意”的内涵,进而概括规律,获得了“数学化”的提升。

二、了解学生思维水平——迁移类推法

数学活动的教学实质上是数学思维活动的教学,因此要使数学教学成为数学活动的教学必须了解学生的思维水平,让学生以已有知识结构为原点不断地吸纳新的知识,不断丰富知识的表现形式,由已知到未知,使学生在旧知识的基础上,通过推理由此及彼,触类旁通,加速知识迁移的进程,而且在类推的过程中,使学生的思维能力得到进一步的发展。比如,教学万以内数的读法:

1.让学生回顾各级内数的数位顺序,按从低到高的顺序熟练地说出数位名称。

2.分辨各个数位上的计数单位,并且让学生练读几个百以内的数,如57、50,说出百以内数的读数方法。

3.把刚才复习练读中出现过的57左边添上一个数字,50后面添0成为三位数,让学生想一想,最高位是什么位?百位上的数怎么读,0怎么读。

4.利用计数器拨、读、相互验证。从而类推出万以内数的读法,完成知识的迁移。

迁移类推活动,不能局限于让学生经历知识学习的过程,更重要的是让学生通过这一活动建立数学思想和数学方法,寻找出新知识的生长点。

三、引导学生积极探究——矛盾冲突法

学生对数学的认知矛盾是激起求知和探究欲望的有利因素。教师要善于发现学生的认知矛盾,甚至寻找契机制造一些矛盾,引起学生的认知冲突,进而引导他们探究数学知识。如教学《圆的认识》时,这样引导学生经历数学化:

1.拿出一张圆形的纸片,让学生找出圆心(折一折或折+量一量)。

2.拿出一个圆形的铁片,让学生找出圆心。学生经历矛盾质疑:铁片无法折,怎么办?在矛盾中寻求发展,另想他法——把铁片画在纸上:铁片“变”为圆形纸片,然后找圆心。

3.创设情境:有一个圆形的水池,怎么找出圆心。学生经历又一次矛盾冲突——水池无法折也无法用纸进行转化,怎么办?

经过以上三个活动,学生对什么是圆心、圆心的特性等概念已形成了较为直观和牢固的印象。这时,再通过生活实例,引发学生思考:自行车、汽车车轮的轴为什么都在圆心的位置呢?

一次次的矛盾解决,目的是让学生体验“困难”——无处着力;在“爬起来”中体验“快乐”——获得成功。这样,不仅体验到学习的快乐,获得较丰富的情感体验,还能将这些活动经验内化为数学的营养。

四、激发学生归纳重构——自我反思法

数学上的一些发现要成为真理,就必须依赖于对自己的判断、想象进行不断的反思,以直观形象为背景,以演绎推理为工具,反复地思考,反复地推敲。一个人对自身经历的活动反思是提高认识水平、促使思维发展的核心,对推动人们深入地认识事物的本质,起着非常重要的作用。

例如,学生也许凭眼睛观察就可以得出平行四边形对角线互相平分这一直觉形象,可是如果促使学生考虑一下:为什么?对这个结论有意识地进行反思,可能会得到意想不到的收获。有些学生会从逻辑推理的角度,从平行四边形的性质来推证;也有些学生会以图形结构的眼光,将平行四边形绕中心旋转180度与自身重合而得出这一结论,如果继续将反思推进到更高水平上,就会更进一步发现对称、旋转、变换等概念。正是环绕着这一连串的直觉思维、反思、表达、判断,不断地将数学化过程推向前进,而这也正是数学的教与学过程所追求的目标。

再如听到很多老师上教学《圆的认识》,都会有这样的教学环节:

(1)你能用哪些方法来画圆?请利用身边已有的材料,也可以利用老师提供的材料来画圆。

(2)然后学生动手实践,小组交流。

(3)进行反馈,学生展示各种画圆的方法。

但是如果仅仅是停留在此,只是单纯地为了追求画法的多样化,那就是只停留在了简单的操作层面上,而未能在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组,思维并没有展开。如果激发学生自我反思“这些画法有什么相同的地方?”从而让学生理解圆的形成和意义,进而探寻圆的特征,活动就加深了深度和广度,数学化就不言而喻了。

数学活动的本质特征是“数学化”。小学数学课堂活动必须使学生有机会真正经历“数学化”。因此,应采用多种方法与策略,让学生在思考、探究、合作中学会用数学的思想、方法,创造性地解决问题,并在亲历数学化过程中获得多种体验,促进思维的发展。