巧用几何变换发展学生的空间观念

王贺杰

摘 要:为了使几何教学更富有生命力,第一,应注重利用几何变换进行概念教学,使学生消除学习概念时的枯燥乏味感和死记硬背倾向;第二,注意到几乎所有的几何基本定理的结论都可以由几何变换得到,故在定理教学中,应引导学生利用几何变换构造辅助线,使图形中相对孤立的元素变换到同一基本图形中,使学生感受辅助线作法的本质,不把辅助线作法视为僵死的条文;第三,注重几何变换的解题训练,关注变换与演绎推理的互通与互补,开拓思路,提高创新能力。

关键词:图形变换 合情推理 概念教学 定理教学 解题训练 创新能力

以往的平面几何教学内容是以公理扩大化的欧式体系为主线,将“已知——求证——证明”的模式作为几何学习最为核心的模式。而在教学改革的今天,《数学课程标准》对图形与空间内容的学习做了新的定位,明确将几何学习的主要目标定位为“发展学生的空间观念”(数学证明只是其中的一部分)。“图形与变换”与“空间推理”可以是“齐头并进”,也可以是“交叉组合”。在各个版本的课标教材中,均将几何变换和运用放在了特别突出的地位,把几何变换方法作为探究几何图形性质的一种重要途径。在内容的呈现方式上,首先是借助于平移、旋转、轴对称等直观具体的“操作性活动”,去完成探究图形性质的学习任务,以提高学生的观察、分析、思考、归纳和概括能力,随后才是“想象”“推理论证”等抽象的思维活动方式。

教学实践证明,在入门阶段,以几何变换为主要线索揭示图形的性质,符合学生的认知规律,学生学有兴趣,有利于发展学生的猜想及合情推理能力,有利于学生对探究几何对象方法的多样化的认识,使几何教学更富有生命力。因此,如何利用几何变换发展学生的空间观念,是数学教师必须思考的一个问题,今结合教学实践谈一下自己的点滴做法。

一、注重利用几何变换进行概念的教学

利用几何变换的方法进行概念教学本身就是关注了几何知识的现实性和直观性,有利于促成学生对概念本质属性的认识。如在讲授角平分线概念时,用软纸片做出角的模型,过角的顶点将纸片对折,使两边重合,展平,折痕就是角平分线的形象。这种简单操作,消除了学生在学习概念时的枯燥乏味感和死记硬背的倾向。在讲授点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系概念时,通过点、直线、圆向定圆平移的操作,使学生感受各种图形与圆会出现多种不同的位置关系及不同位置关系出现的先后次序,可大大加深对各种位置关系概念的理解,使学生感知数学概念也有着活生生的几何变换背景,提高了学生的变换意识和学习兴趣。

二、结合几何变换,精心设计图形性质(定理)的教学

几乎所有的几何基本定理的结论都可借助于几何变换得到,故在教学中应引导学生逐步形成几何变换的方法。如角平分线性质定理、线段垂直平分线性质定理、等腰三角形性质定理、垂径定理等都可用折叠(对称)的方法进行探究性教学;对顶角的性质可由将相交直线绕交点旋转180度得出;在三角形中位线定理的教学中,可让学生把中位线截得的三角形绕中位线一端点旋转180度,通过引导学生探究变换后所得四边形的形状,学生不难发现定理的结论。笔者在等腰梯形性质定理的教学中,引导学生将等腰梯形的两条边转化为等腰三角形的两腰加以运用,同学们跃跃欲试,得到了如图1(梯形ABCD中,AD平行于BC,AB=DC)所示的多种辅助线、辅助线是解决几何问题的“生命线”。

由于问题的多变性,学生对辅助线的寻求仍是一个棘手的问题,而利用几何变换构造辅助线可使图形中相对孤立的元素变换到同一基本图形中,可谓水到渠成,自然而直观,学生消除了作辅助线的玄妙之感,做到了知其然且知其所以然,再不会将辅助线作法视为僵死的条文。综上所述,利用几何变换进行定理教学,可加深学生对基本图形处理方法本质的理解,有利于学生掌握探索定理证明途径的基本方法。

三、注重几何变换的解题训练

在解题教学中,应潜移默化、不失时机地向学生渗透几何变换的数学思想方法,以加强学生的应用意识,这是提高学生变换思维能力的必要条件。

1.注重对经典几何问题的动态化设计

一些经典的静态化几何问题因其具有凸显的典型性、启发性和代表性受到我们的关注,它们往往是可利用几何变换进行动态化设计的好的题目原型。

对相关图形进行动态化设计,首先可使学生产生用几何变换方法解决问题的意识,提高用变换思想认识图形的性质,解决几何问题的能力。其次,可使学生感受几何变换是使图形变式的常用方法,感受在几何变换下生成的变式图形与原图形有着相同或相近的性质,逐步形成动中求恒的解题意识。

2.给学生展示一些奇妙的解题方法

若注意收集一些趣题妙题,引导学生用几何变换的方法进行思考,打破常规,拓展思维,可使学生开阔眼界,提高创新能力。

例:在边长为1的正方形的周界上,任意两点间连一条曲线把正方形面积分成相等的两部分。试证:曲线的长不小于1。

解析:分情况讨论:

(1)若曲线的端点分别在正方形的一组对边上,如图2,过M作ME垂直DC于E,由“直线外一点向直线上各点的连线中,垂线段最短”可知,结论成立。

(2)若曲线的端点在正方形的一组邻边上,如图3,该曲线必与对角线AC相交,设一交点为P,若将PN沿AC翻折至PN′,则转化为图2的情况,故结论成立。

(3)综上所述,曲线的长度不小于1。

最后指出,经历变换要注重合情推理和对证明本身的理解,不可流于形式。随着学生学段的增高和学习的深化,应把几何变换和演绎推理相结合,多法并进,实现变换与推理的互通和互补,以促成学生对几何变换重要思想方法的理解和掌握,充分发挥师生的教学智慧,提高数学课堂的教学质量。

参考文献:

1.《数学课程标准》(实验稿).中华人民共和国教育部制定,2007.1

2.《初中数学新课程教学法》.东北师范大学出版社,2004.5

作者单位:河北省昌黎县赤洋口初级中学