培养学生空间观念“三部曲”

孔新伟

《数学课程标准》总体目标指出，学生应通过“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。”空间观念作为数学学习的内容，在课程标准中被明确地提出，足以说明在数学教学活动中，让学生建立空间观念，是新理念下数学教学活动中的一项重要内容，也是学生应具备的一种基本数学素质。

何谓“空间观念”?

《数学课程标准》认为，空间观念主要表现为“能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状。进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。”空间观念的发展是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析，由低到高不断向前发展的认识客观事物的过程。数学教学怎样有效地促进学生空间观念的发展呢?具体的途径和方法有很多。笔者认为小学生的思维特点是以形象思维为主，逐步向抽象思维过渡，所以培养学生空间观念的关键点是引领学生在“形象”与“抽象”之间反复跳转，让其在螺旋式跳转中逐步建构起对空间与平面相互关系的认识。具体可分三步走：

形象——表象：空间观念发展的“经验储备”阶段

学生的空间知识来自丰富的现实原型。他们的空间观念是在生活经历中与客观环境不断接触时逐步形成和发展起来的。心理学研究表明：学生学习几何知识时。要从具体事物的感知出发，获得清晰、深刻的表象，再逐步抽象出几何形体的特征，以形成正确的概念。可见。储备学生的现实原型表象是发展学生空间观念的前提条件。那么，教学中怎样创造条件促使学生由“形象”向“表象”过渡呢?教师可以让学生对生活经验进行回忆。充分利用学生的视觉、听觉、触觉等多种感觉器官，让学生通过看一看、摸一摸、量一量、比一比、想一想、画一厕、折一折、摆一摆、剪一剪等实践活动，促使“实物表象—模型表象一图形表象”逐级提升，从而以丰富的表象作为建立空间观念的坚实载体。

下面介绍两种具体做法：

在想象中“哂”出表象。例如，教学“长方体的认识”时，教师首先引导学生回忆生活中哪些物体的形状是长方体的，学生举出了粉笔盒、牙膏盒、电冰箱、电视柜，等等。教师引导学生闭上眼睛想象：这些长方体的形状是怎样的，它们有什么共同的地方?教师以期通过这些活动建立学生的实物表象。在此基础上，教师给学生提供长方体模型教具，让学生进行看一看、摸一摸、数一数、拆一拆等操作活动，建立起模型表象。然后，再让学生闭上眼睛想象：通过刚才的操作活动，你觉得长方体应该是一种怎样的形状?最后让学生看着模型，将想象的结果在纸上用简单的图表示出来(学生画得是否标准并不重要，重要的是将自己想象的结果真实地呈现出来)，并说一说在画的时候要注意什么。通过画形象图。促进学生的空间想象由“形象”向“表象”跃进，最终使学生形成较为准确、清晰的图形表象。

在操作中“摆”出表象。小学生的表象形成经常是从动作开始的。动手操作很容易激起他们的好奇心和求知欲。因此，学生在学习几何知识时，教师要从具体事物的感知出发，让学生通过操作活动，促使其空间表象的形成。例如，在教学“长方形的周长”时，给学生提供许多小棒，让他们用小棒摆一些长方形，学生摆出了各种各样的长方形。然后让他们用手摸一摸这些长方形的周长，并说说这些长方形的周长有什么共同的地方。学生在摆、摸、说的过程中逐步形成了长方形周长的表象：即长方形的周长就是围它一周的4根小棒长度的和，从而为下一步探索长方形周长的计算方法奠定了良好的表象基础。

表象——抽象：空闻观念发晨的“理性分析”阶段

当学生具备了一定的表象经验之后，要不失时机地引导学生将形成的表象进行提炼、概括，即透过表面的现象找出事物的本质特征。因为学生只有充分认识了空间与图形的本质特征后。才能真正运用空间表象进行一系列的思考活动，解决空间与图形领域的问题，从而形成含有理性成分的空间观念。《数学课程标准》也指出了空间观念在分析和抽象层次上的表现，如“能从较复杂的图形中分解出基本的图形”“能描述实物或几何图形的运动和变化”“能采用适当的方式描述物体间的相互关系”等等。这些要求都是在学生具备一定的空间表象基础上，提出了根据图形的本质特征在逻辑上对图形关系进行分析与操作。

那么，在教学中怎样引导学生对空间表象进行逻辑推理和抽象概括，从而发现空间与图形的本质特征?可以采取如下一些策略：

观察——比较。给学生提供具体材料，让学生通过观察比较。发现空间与图形的规律性特征。例如，“观察物体”一课，教师指定不同学生用数码相机为一个同学进行不同方位的拍照，并把这些照片展示出来。让学生仔细观察这些照片，通过比较，猜一猜每张照片是摄像师站在哪个方位拍的。然后指导学生进行本位、换位观察学具，让学生通过交流比较后得出：同一件事物，观察的角度不同，所得的结果也就各不相同。

操作——盛悟。给学生提供丰富的动手材料，放手让他们通过操作去感悟空间与图形的特征，获得亲身体验。例如，“圆的认识”一课，教师给学生提供圆形纸片，学生通过折纸感悟到：圆的半径有无数条，长度都相等，直径也有无数条，长度也都相等，在同一个圆里。直径是半径的2倍，学生还发现了圆是轴对称图形，两次对折后可以找到圆心等等。所有这些内在规律都可以通过操作圆形纸片得到证明。

猜想——验证。鼓励学生根据已有的表象经验，对空间与图形的本质特征进行大胆假设，引领他们进行猜想和验证的探究活动。例如，学习“平行四边形的面积计算”，教师先让学生大胆猜想平行四边形面积的计算方法，不少学生受长方形的负迁移影响，认为平行四边形的面积也是“两边相乘”。教师“将错就错”，引导学生展开验证活动，出示图(图一)，学生通过探究，发现“a*b”是长方形的面积，它大于平行四边形的面积，而平行四边形的面积，要将长方形外的小直角三角形平移进来，将平行四边形转化为小长方形来推导，从而得出“底×高”的结论。

试验——发现。为学会创设“试验”的情境，让他们通过亲自尝试、筛选，发现规律，得出结论。例如，前面举过的例子“长方形的认识”，当学生具备了一定的长方形表象后，教师要引导学生对长方形的本质特征开展探索：提供长方形(多于6个)和小棒(多于12根并有接头)，让学生选择其中所需部分，组装成一个长方体。学生要根据已有的表象经验，判断出所需材料的数量，然后提出假设，确定试验的范围，接着逐一进行试验，通过试验筛选，完成长方形的组装，在组装过程中发现长方体“面、棱、定点”方面的内在特征。

抽象——形象：空间观念发展的“检验应用”阶段

当学生经过抽象概括获得空间理

性认识后，接下去要将这些抽象概念具体化，一方面是检验概念的外延范围·，另一方面是运用所学知识来解决一些实际问题，在实际应用中进一步巩固和深化空间概念。《数学课程标准》也进一步指出，空间观念的表现还包括“能运用图形形象地描述问题，利用直观进行思考”。该阶段的“形象”和第一阶段中所讲的“形象”已有本质的区别：第一阶段中的“形象”是指利用学生头脑中已有的“直观经验”，它是在概念之前，是零散、琐碎、模糊的；而此时的“形象”是学生已经获得理性认识之后，将理性概念运用到具体中去，寻找形象例子，以进一步验证概念的正确性和范围，并解决一些实际问题。

具体可从以下两方面入手：

回归生活。学以致用。例如，学习“图形的认识”，学生经过猜想、操作验证后获得了“三角形不容易变形，四边形容易变形”这一理性认识。为了检验这个规律的普遍性，教师引领学生展开了一系列的活动：首先拿出一把会摇动的椅子让学生坐一坐，问学生有什么感觉，学生说椅子坏了，坐不稳，教师让学生讨论怎样应用三角形稳定性的特征来修理这把椅子，并亲自动手把它修好，然后再次坐一坐，检验是否能坐稳了；教师还带领学生到马路旁、商店内观察，哪些地方用到三角形的稳定性?哪些地方运用到平行四边形的不稳定性?经过这种实地的观察、触摸，学生对这些本质特征确信不疑，并深深地体验到了数学的应用价值，增强了学习数学的兴趣。

检验外延，融会贯通。例如，学习了“圆的面积计算”后，有些学生觉得探索平面图形面积计算公式时，总是把它转化成一个已学过的图形，再根据学过的图形的面积公式来推导出新图形的面积公式。教师及时引导学生对以前学的知识进行回顾反思，检验这种方法是否普遍适用于平面图形，学生回忆起平行四边形、三角形、梯形等图形的面积公式推导方法，发现确实如此，从而悟出了学习该类知识的具体方法。有些学生还通过形象思维，对这些公式之间的相互关系进行了沟通：当我们记住了梯形的面积公式，只要想象梯形的上底延长到与下底相等时，它的面积S=1/2*2a×h=ah，就是平行四边形的面积公式；同样的道理，当梯形的上底缩小为O时，它的面积S=1／2×(a+0)×h=1／2ah，就是三角形的面积公式。

空间观念是以丰富学生的空间经验为出发点，在活动体验的过程中逐步建立、形成、强化和发展起来，它需要一个漫长的过程。只要我们坚持沿着“形象——表象——抽象——形象”的轨迹，不断地循环下去，学生的空间观念就会从无到有、从少到多、从模糊到清晰，学生的空间想象力也会由弱到强、由低级到高级、由单一到复杂不断地提升。