谈谈几种分式方程的特殊解法

梁富红

解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程，验根是解分式方程必不可少的步骤。解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程。解可化为一元一次方程的分式方程，也是以一元一次方程的解法为基础，只是需把分式方程化成整式方程，所以教学时应注意重新旧知识的联系与区别，注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法。解分式方程的方法很多，怎样选择合适的方法去解，从而简化运算呢？下面结合一些例题，向同学们介绍一些解法技巧。

一、一般法

去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程。但要注意,可能会产生增根。所以,必须验根。产生增根的原因:当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。

例1.解方程：.（2006年·临安市中考题）

分析：在解分式方程的时候，要把分式方程变为整式方程。原方程的两边都要乘最简公分母，在找最简公分母的时候要先把分式方程变形。

解：去分母得2x-5=3(2x-1)，即 2x-5=6x-3。

解之得

检验：当时，最简公分母2x-1≠0。

所以是原方程的解。

评注：在解这个分式方程时一定要注意，方程等号右边的常数3也必须乘最简公分母。

二、换元法

换元法就是恰当地利用换元，将复杂的分式简单化。为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程。

分析本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的

解 设x2＋x=y，原方程可变形为

解这个方程，得y1=－2，y2=1。当y=－2时，x2＋x=－2。

∵Δ＜0，∴该方程无实根；当y=1时，x2＋x=1，

∴ ；经检验，是原方程的根，所以原方程的根是。

三、拆项法

拆项法就是根据分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的项合并使原方程简化。特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根现象。

解将方程两边拆项，得

即x=－3是原方程的根。

四、因式分解法

因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。

例4.

解 将各分式的分子、分母分解因式，得

∵x－1≠0，∴两边同乘以x－1，得

检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根为x1=－1，x2=0。

五、配方法

配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。

∴x2±6x＋5=0，

解这个方程，得x=±5，或x=±1。

检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。

六、运用各自通分法

例7.解方程：。

分析：此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答。观察此方程可以发现，分子均相同，分母按大小排列依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法来解。

解：移项，得：方程两边通分，得：

即

方程的两边同乘(y-2)(y-4)(y-6)(y-8)，得：-2(y-6)(y-8)=-2(y-2)(y-4)

即y2-14y+48=y2-6y=8

解之得y=5

经检验,y=5是原方程的解。

∴原方程的解为y=5。

总之，解分式方程要看清分式方程的特点，采用灵活的方式把分式方程转化为整式方程，在求出整式方程的解之后不要忘记检验。检验的方法有两种：一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验；另一种是把求得的未知数的值代入分式的最简公分母进行检验。