浅谈“最短路线”问题

雷庆兰

摘要:文章从例1出发,纠正了同学们在解题中容易出现的错误想法,给出了例1的解答过程,并从解答中提出问题,展开进一步的分析,得出结论,让同学们对“最短路线”问题有更清楚的认识。接着将例2作为思考题加以巩固。最后总结解决这类问题的基本思路。

关键词:最短路线;展开图;总结

中图分类号:G633.6文献标识码:A文章编号:1006-8937(2009)18-0177-01

我们先看下面的问题。例1,问题一:已知圆柱的底面半径为4cm,高为6cm,当蚂蚁从A爬行到B点,蚂蚁爬行最短路线的长度为多少?小明方案:从A到C,再由C到B是最短的,即AC+CB。小亮方案:画出圆柱的侧面展开图,在Rt△ABC中,CB=4 cm,AC=6cm,AB是最短的。你认为谁有道理,请通过计算加以解释。问题二:探究当高度为4cm,其它条件不变时,情况又是怎样呢?这是一个有趣的数学问题。读完题目后,很多同学会有下面的想法:

①有的同学认为:根据“两点之间,线段最短”,连结AB,线段AB即为最短路线,如图1—1。这种想法是错误的。因为蚂蚁是在圆柱体的表面爬行,它不可能按线段AB这个路线爬行。

②有的同学认为:还有一种方案,从A到C,再走弧CB。这也是一条爬行的路线,但是CB=8cm,而弧CB=4 cm,即弧CB>线段CB。因此,这种方案与小明的方案相比,显然小明的方案更符合题意。

③有的同学认为:根据“三角形中任意两边之和大于第三边”,即AC+CB>AB,所以不需通过计算可知,小亮的方案有道理。这种想法也是错误的。因为CB为圆柱的底面直径,而CB为弧CB的长度,即圆柱底面圆周长的一半,因此无法直接比较AC+CB与AB的大小,还需根据已知条件,通过计算得出答案。

问题正确的解答过程如下:

解:(1)依题意可得:

小明所求长度为:AC+CB=6+4×2=6+8=14cm

在Rt△ABC中,根据勾股定理得

小亮所求长度为:AB= cm

∵193.75< =196 ∴AB

∴小亮所选择的路线最短,即蚂蚁爬行最短的路线长度为cm。

(2)依题意可得:AC+CB=4+4×2=12cmAB= cm

∵173.75> =144

∴AB>AC+CB

∴小明所选择的路线最短,即蚂蚁爬行最短的路线长度为12cm。

由问题的解答过程,我们发现:(1)中小亮所选择路线最短,而(2)中小明所选择路线最短。那有的同学会问:这两种路线的长度有可能相等吗?为解决这个问题,我们可以设圆柱的底面半径为r,高为h,当AC+CB=AB时,当 时,AC+CB=AB,即两种路线的长度相等,当 时, AC+CB>AB,即AB是最短的,按小亮所选的路线爬行,当 时, AC+CB

因此,蚂蚁有2条可行的路线,但按哪条路线爬行是最短的,还与题中h、r的取值有关。(注:在解题过程中, 取3.14,取近似值时保留到小数点后两位)

有兴趣的同学可以思考下面的这道题。

例2是一个长方体底座,AB=10m,BC=3m,BF=4m,求一只小甲虫从点A 出发爬到G最短的路径为多少?

分析:本题的关键是画出长方体的展开图,通过分类讨论再比较哪条路径最短。

你是这样想的吗?

解:分3种情况讨论:

(1)将前面与右面展开。

根据“两点之间,线段最短”,连结AG。

在Rt△ACG中,AC=AB+BC=10+ 3=13m,CG=4m,由勾股定理得路径AG= m

(2)将下面与右面展开,连结AG。

在Rt△AFG中,AF=AB+BF=10+ 4=14m,FG=3m,由勾股定理得路径AG= m

(3)将前面与上面展开,如图2—4,连结AG。

在Rt△ABG中,BG=BF+FG=4+ 3=7m,AB=10m,由勾股定理得路径AG= m

∴路径(3)方式爬行的路径最短,即最短的路径为 m。

综上所述,解决这类问题的基本思路为:找出符合题意的路线(可能有2种或2种以上),如果不能直接得出它们长度的大小关系,就通过计算比较,选择路线,得出答案。

参考文献:

[1] 伍鹏.在线课堂,八年级数学[M].上海:龙门书局出版社.

2008.