逻辑关系在线性代数教学中的体现

李世伟

(中国计量学院理学院浙江杭州310018)

摘要本文结合线性代数课程前两章的具体内容，详细分析了逻辑关系在线性代数教学中的体现。教学实践表明：在教学过程中对逻辑关系适当的加以强调，对于增加学生的学习兴趣，提高学生的学习成绩很有帮助。

关键词逻辑；教学；线性代数

一、引言

在线性数学的教学过程中，常常会遇到学生问到一个问题，就是学习线性代数究竟有什么作用。因为在学生学习这门课的过程中，很难找到在生活中直接与线性代数联系非常紧密的事物。很多老师的答案往往是：学习线性代数可以提高人的计算能力，锻炼人的逻辑思维能力，增强人的逻辑推导能力等等。但是学生感到这些遥不可及，再加上数学本身的理论性比较强，所以教师在授课的过程当中，会遇到学生学习兴趣不高，上课提不起精神等现象。如何有效的提高学生的学习兴趣，把学生的注意力紧紧吸引到老师的讲课上面，根据近几年教学的体会，发现在教学当中把课程的逻辑关系讲清楚可以起到很重要的作用。下面以线性代数课程的前两章内容为例，说明逻辑关系在线性代数教学中的体现。

二、第一章行列式内容的逻辑关系分析

第一章行列式是学生在学习线性代数课程所遇到的第一个新概念，把这个概念讲清讲透对于学生学习线性代数的兴趣和信心尤为重要。本章内容如下：主要内容：第一节：行列式的定义；第二节：行列式的性质；第三节：行列式按行或按列展开法则；第四节：克拉默法则。重点：行列式的计算。难点：行列式定义的理解在讲述这部分内容的时候，内容的逻辑关系非常明显。首先由二、三元一次方程组给出二、三阶段行列式的定义，说明有了这种行列式的定义后，表示某些比较特殊的二、三元一次方程组的解将会变得比较简单，但是处理更多元的方程组就会发现仅仅给出二、三阶行列式的定义是不够的，接着有必要引入更高阶行列式的定义，自然引出第二节——n阶行列式的定义。通过详细分析二阶，三阶行列式展开式的项数、每一项元素的构成、及每一项的符号，可以自然给出n阶行列式的定义。利用行列式主要是利用行列式运算的结果，但用行列式的定义计算行列式显然不现实，因为5阶行列式的展开式就会包含120项，所以有必要给出一种有效且易行的算法计算行列式，为此引出第三节——行列式的性质。有了这些性质以后，计算行列式变得非常容易，只需根据行列式的第五个性质，把行列式化成一个上三角或下三角行列式来计算就可以了。但是，我们会发现利用行列式性质计算行列式也有一个比较大的问题，就是把行列式化成上三角或下三角行列式的运算量比较大且容易出错，算法不够灵活。下一节内容将给出一种更方便、更灵活的计算行列式的方法，自然引出第四节——行列式按行或按列展开法则。这种方法在计算行列式时具有比较大的灵活性，我们可以从行列式任何一个非零元素开始，把它所在行或列的其它元素全部化成零，然后按这一行或列展开，则行列式马上会降阶一次。依此类推，则行列式的阶数愈来愈低，计算起来就会比较简单。到此，讲了行列式的概念，行列式的计算，那到底行列式有什么作用，本章的最后一节给出了一个答案。自然引出第五节——crammer法则。这节内容具体讲述行列式在一类方程组的求解时会发挥作用。当然这里要特别强调法则的适用条件。

这样整个第一章就会沿着一个非常自然的逻辑关系介绍下来。这种逻辑性介绍清楚以后，学生在学习每一节新课之前都会有一种期待：讲完二三阶行列式以后，他就会想到底更高阶行列式怎么定义，讲完n阶行列式的定义，他就会想到底n阶行列式会有什么简单的方法计算，讲完行列式的性质计算行列式以后，他就会想到底有没有更灵活的方法计算行列式。把这些概念、算法都讲完之后，学生就会想到底行列式有什么作用。当然这些悬念需要教师在授课时巧妙的进行设置。按照这种逻辑关系进行教学就会让学生始终觉得这一章内容是一个有机的整体。复习的时候再归纳一下：第一章行列式主要介绍三个问题：第一：行列式的概念；第二：行列式的运算；第三：行列式的一个应用。这样学生对行列式的所有内容就比较清楚了。

三、第二章矩阵内容的逻辑关系分析

线性代数除了行列式这个重要的工具以外还有一个非常重要的工具就是矩阵，自然引出第二章矩阵及其初等变换。

第一节主要明确矩阵实际就是一个数表。由于在实际当中数表之间会存在一些运算，所以作为数表的一种抽象，矩阵也需要定义一些运算，自然引出第二节——矩阵的运算。矩阵之间可以定义加法，减法，数乘，矩阵乘积，幂，行列式，转置运算等等。在这些运算当中有些运算与数的运算类似，有的运算则是矩阵所特有的。这里要特别强调两点：首先，矩阵的大部分运算都有自己的适用条件：比如加减法要求矩阵同型，矩阵乘积要求前一个矩阵的列数要等于后一个矩阵的行数，矩阵的幂和矩阵的行列式的运算要求矩阵为方阵等；其次矩阵没有除法运算。除了以上运算以外，矩阵还有一种类似于数的运算，像在数中，则称为的逆一样，矩阵里面也有类似的概念，自然引出第三节——矩阵的逆。用数中逆的定义类似的表达式给出矩阵逆的定义，接着利用方阵的行列式判定矩阵什么时候可逆，可逆时再利用伴随矩阵给出求矩阵逆的方法。这样从可逆的概念，可逆的判定，逆矩阵的求法三个方面把矩阵逆的问题讲清楚了。但是用这一节的方法在实际求逆矩阵时会遇到求伴随矩阵的困难，下面一节将给出一种更直观易行的方法求逆矩阵，自然引出下一节——矩阵的初等变换及初等矩阵。本节内容主要是通过方程组的同解变换引出矩阵的初等变换，通过矩阵初等变换之后前后矩阵之间的联系引入初等矩阵，这两项主要工作做完以后，自然可以给出利用矩阵的初等行变换求逆矩阵的方法。除了以上矩阵的概念，运算，初等变换以外，后面的章节还要用到矩阵另外一个重要的概念，就是第四节——矩阵的秩。本节主要明确矩阵的秩其实就是最高阶非零子式的阶数，但确定最高阶非零子式不容易，所以后面紧接着给出了用初等行变换求矩阵逆的方法。

这样按照矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵的初等变换，矩阵的逆一条非常清晰的逻辑主线就把第二章内容——矩阵的问题讲清楚了。

从以上分析可以看出：线性代数的前两章内容逻辑关系确实非常明确。我在上课时用这种方法讲下来，发现学生学习兴趣非常浓厚，课堂气氛非常热烈，学习效果也非常好。线性代数的后面几章内容其实也有非常明确的逻辑主线，将在以后的文章中继续探讨。

参考文献

[1]刘学质．线性代数课程体系与教学原 [J]．高等数学研究2008，11(4)：95-98转105．

[2]连博勇，孙逊．线性代数的教学探讨．[J]．科教文汇，2008，5：78-78．

[3]刘学质．线性代数的体系和方法．[J]．高等数学研究．2007，20(4)：142-144．

[4]汪海伟．关于线性代数教学的几点思考 [J]．常州信息职业

技术学院学报．2008，7(3)：36-38．

[5]雷恩灵．线性代数课程教学探讨．[J]．太原理工大学学报，2002，20增刊：80-81．

[6]崔晓华．线性代数课程教学策略探讨．[J]．河北北方学院学报，2007，6：86-88．