让数学课堂闪烁智慧的火花——《合理安排》教学片段及感悟

■王钊

让数学课堂闪烁智慧的火花
——《合理安排》教学片段及感悟

■王钊

【推荐者的话】王钊老师是一位年轻的优秀教师，她在“武汉市首届名特优教师教学展示观摩活动”中作为优秀教师的代表执教了《数学广角——合理安排》这节课。王钊老师以独特新颖的教学设计、跌宕起伏的教学环节、和谐融洽的师生交流获得了与会教师的一片赞誉之声。王钊老师勤奋、好学，在这节课的备课中不仅一次又一次地钻研教材，而且大胆地用批判的眼光去阅读教参。她用自己的思考孜孜地追求教学的艺术，用智慧的火花为我们奉上了一节难得的好课！

——武汉市教科院特级教师 马青山

一、背景导读

《合理安排》是义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）四年级上册《数学广角》的教学内容。本课主要是通过“烙饼”这一日常生活中的简单事例，让学生在经历烙饼时怎样合理安排最节省时间的讨论过程中，尝试从优化的角度在多种方案中寻找最合理的方案，体会运筹思想在日常生活以及解决问题中的应用。同时在本节课的教学中，教师还有意识地渗透养成合理安排时间的良好习惯的教育。我在本节课的教学中，以“合理安排”为贯穿全课的主线，开篇以《丁谓施工》的故事渗透合理安排，以展开探究烙饼的最优方案感受合理安排，结尾以解决简单的实际问题运用合理安排。

二、教学片段

[片断一]《丁谓施工》开篇，渗透合理安排。

师：“数学使人周密”，意思是人们在数学学习中可以发展严谨、周密的思维能力。古往今来，运用数学思想取得出奇制胜效果的事情屡见不鲜，我国古代著名的故事《丁谓施工》就是一例。

（课件播放《丁谓施工》的故事）

师：看完故事，你们觉得丁谓的安排怎么样？

生1：非常巧妙！

生2：对对对！丁谓很聪明，想出了这么好的办法！

师：是啊！这是因为他经过仔细思考，对工序进行了合理安排。其实，丁谓用的方法我们天天都用得着，这种巧妙合理的安排随处可见。今天数学广角的活动我们也来进行合理安排。

（揭示课题：数学广角——合理安排）

[片断二]探究烙饼方案，感受合理安排。

1.由烙3张饼入手，体会“锅里总是有两张饼在同时烙”才是合理安排。

师：这不，芳芳和妈妈就遇到了这样一个问题。（课件播放课本第112页情境图）

师：同学们，从情境中你知道了些什么？

生1：每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面3分钟。

生2：一共要烙3张饼。

生1：尽快把3张饼都烙好。

生2：就是要用最短的时间把3张饼都烙好。

师：对呀！就是要用最短的时间把3张饼都烙好！同学们看，王老师也给你们带来了一口锅（教师边说边在黑板上画出一口锅），还带来了3张饼（教师边说边在黑板上贴出3张饼），烙饼的哪一面就把饼的那一面朝下。

师：怎样安排才能尽快烙好这3张饼呢？大家想一想，也可以用你手中的学具摆一摆。来，试试看吧！

（学生借助学具尝试设计烙饼的方案）

师：谁来说给大家听一听，你是怎样安排的？一共用了多长时间？

生1：我是一张一张烙的。先烙1号饼的正面，再烙1号饼的反面，烙好1号饼用了6分钟；然后烙2号饼，又用了6分钟；最后烙3号饼，也要用6分钟。烙好3张饼一共用了18分钟。

生2：我是先同时烙1号饼和2号饼的正面，用了3分钟；再同时烙1号饼和2号饼的反面，又用了3分钟；最后将3号饼单独烙，用了6分钟。我一共用了12分钟。

生3：我的方法和他们都不一样。我是先同时烙1号饼的正面和2号饼的正面，用了3分钟；再同时烙1号饼的反面和3号饼的正面，又用了3分钟；最后同时烙2号饼的反面和3号饼的反面，也是用3分钟。这样烙好3张饼一共只用了9分钟。

（教师随着学生的交流适时简要板书）

师：同学们用不同的安排都烙好了3张饼，每种安排都有自己的道理，但你认为哪种安排最合理呢？为什么？

生：第三种安排。

师：为什么第三种安排最合理呢？我们一起来分析分析。

生：本来可以一次烙两张饼的锅第1种方案却只放了一张饼，锅没有充分利用。

师：嗯！这种安排没有使锅得到充分利用，看来这种安排不太合理。第二种安排用的时间比第一种短，短在哪里呢？

生：第二种安排锅里先同时烙两张饼，再烙一张饼，这样就节约了一张饼的时间。

师：有道理！如果只烙两张饼，怎样安排才合理呢？

生：应该两张饼同时烙，先同时烙饼的正面，再同时烙饼的反面。

师：说得好！烙两张饼时，先同时烙两张饼的正面，再同时烙两张饼的反面，这种安排最节省时间，是一种合理的安排。但是第二种安排用的时间比第三种多，多在哪里呢？

生：烙第3张饼时，锅里只有一张饼，还空了一张饼的位子，所以浪费了时间。

师：那你们能不能想想办法，不让锅里空出一张饼的位子呢？来，还是两人一组，再来烙3张饼试试！

（学生两人一组再次探究烙3张饼的最优方案）

师：谁来说一说，你是怎样安排的？

（指名学生边实物投影演示边说自己的烙饼方案）

师：哎！为什么在烙完1号饼和2号饼的正面后，不接着烙1号饼和2号饼的反面，而要烙1号饼的反面和3号饼的正面呢？

生：因为只有这样才能使锅里始终有两张饼在烙，否则锅里最后就会只剩下一张饼。

师：说得太好了！现在知道为什么第三种安排用的时间最短了吗？

生：就是因为第三种安排能保证锅里总是有两张饼在同时烙。

师：对！看来在烙3张饼的时候，为了节省时间，我们不应该把3张饼分成一张一张地来烙，也不应该把3张饼分成两张和一张来烙，而应该把3张饼作为一个整体，交替地调换烙正面和反面的顺序，使锅里总是有两张饼在同时烙，这才是合理的安排。

2.对烙4、5、6、7张饼探究，感受“按2张或3张饼分组”就能合理安排。

师：我们刚才通过多种烙饼方案，找到了尽快烙好3张饼的合理安排。如果要尽快地烙好4、5、6、7张饼，你能用刚才烙2、3张饼的经验来找到一种合理的安排吗？可以在小组里互相交流交流，也可以利用老师为大家准备的学具实际试一试，看看哪个小组能想出什么好办法？

（学生分小组开展探究活动）

师：要烙4张饼，怎样安排比较合理？

生：我们是这样安排的，把两张饼作为一组，2张2张地烙。一个2张需要6分钟，两个2张就要12分钟。

师：哦，也就是把4张饼分成了两组，每组2张饼，一组一组地烙。那5张饼呢？

生：我们的想法和他们烙4张饼的想法差不多，也是把饼分成两组。5张饼可以分成一个2张和一个3张，一个2张需要6分钟，一个3张需要9分钟，一共需要15分钟。

师：王老师也有个想法，你们看合不合理：我把5张饼分成三组，先烙2张饼，再烙2张饼，最后烙1张饼，你们看怎么样？

生：不合理！因为烙最后1张饼的时候，锅里还有空的位子，时间就不会最节省。

师：看来我们把饼分组的时候一定不能最后只剩下1张饼，每组里要么是2张饼，要么是3张饼。如果要烙6张饼，那又应该怎样安排呢？

生1：可以把6张饼分成两组，每组3张饼。一个3张需要9分钟，两个3张就要18分钟。

生2：我们也是把6张饼分组，但和他们的分法不一样。我们把6张饼分成三组来烙，每组2张饼，烙一组要6分钟，烙三组就是18分钟。

师：看来，用这两种方法来烙6张饼都是合理的安排，既可以2张2张地烙，也可以3张3张地烙，这两种方法所需要的时间是相同的。

生：王老师，烙7张饼怎么安排，我也知道了!

师：真的吗！说给大家听听，你打算怎样合理安排烙7张饼的问题？

生：我听了5张饼、6张饼的安排，就想到要烙7张饼可以分成2个2张和1个3张来烙。2个2张要12分钟，1个3张要9分钟，一共要21分钟。

师：真好！同学们通过共同思考、互相借鉴，在“烙饼”中找到了合理安排的方法，而且有时候合理的安排方法还不止一种，你们真是太了不起了！那么现在谁能说一说，烙饼时怎样安排才合理呢？

生：要把饼按2张一组或3张一组分成若干组，这样锅里就总是有两张饼在同时烙，这样安排才是合理的。

（其他学生也纷纷表示赞同）

师：太棒了！为了保证锅里总是有两张饼在同时烙，我们就应该按2张或3张饼分组，这样安排最节省时间，当然也就最合理了！

烙饼张数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……最短时间/分 6 9 12 15 18 21 24 27 30 ……

（板书：按2张或3张饼分组）

3.用烙8、9、10张饼提升，推广合理安排的方法。

师：我们已经找到了合理安排烙饼的方法，如果有8、9、10张饼，你们能说说怎么合理安排吗？任选一个说说看！

（学生汇报，教师随着学生的汇报逐步完成下面的表格）

生：王老师，我还发现了一个规律！

师：是吗？说说看！

生：烙2张饼最少要用6分钟，烙3张饼最少要用9分钟……烙饼的张数乘3就是所要用的最少时间。

师：真的吗？我们来看看！哇，果真如此，烙饼的张数乘3就是所要用的最短时间。同学们真了不起！

生：王老师，我也发现了，而且我还知道是什么原因！

师：是吗？谈谈你们的想法！

生：本来在锅里烙一张饼的时候，正面3分钟，反面3分钟，烙一张饼要花6分钟。但由于锅里可以同时烙两张饼，也就是同时烙了两个面，相当于烙了一张饼，也就相当于烙一张饼要用3分钟。

师：你们都听明白了吗？

（其他学生纷纷点头表示认同）假设两个厨师做每个菜的时间都相等，应该按怎样的顺序炒菜？说说你的理由。

师：你们真让我佩服！不仅找到了合理安排烙饼的规律，而且还发现了所用最短时间的规律，并能说出原因，太了不起了！

[片断三]解决实际问题，运用合理安排

1.合理安排炒菜顺序的问题（课本第114页“做一做”第1题）

2.总结

师：同学们，在我们今天《数学广角》里的活动中，你有什么体会吗？

生1：我原来总以为《数学广角》的知识很难，今天我却发现其实《数学广角》的内容非常有趣，也并不难，还比较简单呢！

生2：对！而且我还非常佩服丁谓的巧妙安排，他太聪明了！

生3：我原来不知道怎样合理地安排烙饼，今天我清楚了！

……

师：同学们说得太好了！像这样的例子还有很多很多。试想一下：假如没有学校的合理安排，我们能这么秩序井然地学习吗？假如没有科技工作者的合理安排，我们的“嫦娥一号”能顺利探测月球吗？你们知道吗？我国著名的数学家华罗庚爷爷在关于“合理安排”方面可是做出了巨大的贡献，他提出的“优选法”已经广泛地应用到我们的生产和生活之中。

三、教学感悟

作为这节课的设计与执教者，我想从以下几方面谈谈自己的所思所获。

1.数学文化的传播点燃智慧的火花

就这节课而言，“合理安排”是运用了数学中著名的思想——运筹思想来进行的。在古代，运用运筹思想的代表人物有田忌赛马中的孙膑、运筹帷幄的张良、神机妙算的诸葛亮、巧妙施工的丁谓等等。现代代表人物则有我国著名的数学家华罗庚。为了让学生真切地感受到合理安排的作用，我用《丁谓施工》的flash动画开课。那生动有趣的对话和精心巧妙的施工，让学生由衷地对丁谓的合理安排拍手叫绝，同时也使“合理安排”在他们的脑海中留下了深刻印象。这段运用数学思想方法取得出奇制胜效果的故事将学生的智慧之门一点点开启，将他们智慧的火花一点点点燃，一场好戏就要开始了！

课后，一个学生兴致勃勃地跑来问我：“王老师，我读过《运筹帷幄》的故事，刘邦的军师张良坐在军帐中排兵布阵，就能决定千里以外一场又一场战斗的胜利。他是不是也进行了合理安排呢？”看，这个孩子就能运用学过的数学知识思考读过的文章，这就是理性的思考。我对他说：“对！正是张良的合理安排取得了战斗的胜利。”这个学生若有所思地点点头。

2.合理安排的过程闪烁智慧的光华

本节课是借对烙饼的合理安排让学生体会运筹思想在生活中的广泛应用，对于如何合理安排烙饼问题我力求从以下三个层次体现：

第一个层次，从烙3张饼入手，主要解决什么样的安排才是合理安排。听了很多节同样内容的课，大都是按照烙1、2、3……张饼这样的顺序逐步引导学生展开探索的，但我似乎总感到学生是在教师的安排和牵引下按部就班地学习，主动探求的欲望还不够。于是，我思考着能不能把“怎样安排才能尽快烙好这3张饼”的问题一开始就抛给学生，让他们在多种方案的比较中感受到“怎样安排最节省时间”。学生中马上呈现有三种安排：第一种是一张一张地烙，要用18分钟；第二种是先同时烙2张饼，剩下的1张饼单独烙，要用12分钟；第三种是采取3张饼交替烙的方法，只花9分钟。学生的积极性立刻被调动起来了，他们思维的火花开始碰撞，当老师的“但你认为哪种安排最合理呢？为什么？”一问掷出，一石激起千层浪，同学们迫不及待地想表达自己的想法。这时，老师不慌不忙，在引导学生比较这三种安排合理性的过程中，“锅里总是有两张饼在同时烙”，才最节省时间，这样的安排就是合理安排也就水到渠成了。

第二个层次，讨论、实验烙4、5、6、7张饼，主要解决若干张饼怎样合理分组安排。有了前面烙2、3张饼的经验，我让同学们分组讨论、实验，如果烙4、5、6、7张饼怎么安排合理。这时，有的学生没有去实际“烙”了，而是直接提出了烙4张饼的合理安排就是将4张饼分成两组来烙，每组2张饼。这样利用烙2张饼的经验，就能很快得出了烙4张饼的合理安排。这个组的意见一提出来，立即得到了其它小组的认同和借鉴，同学们争先恐后地说出了烙5张饼的合理安排也是分成两组来烙，一组2张，另一组3张。令我惊喜的是烙6、7张饼时，同学们不仅将分组的方法由两组自动扩充到多组，而且还有了多种不同的分组方法。可以欣喜地说，学生是真感受到了只要“按2张或3张饼分组”就是一种合理安排。

第三个层次，通过烙8、9、10张饼，主要解决安排的规律和时间的规律相结合。学生在运用分组的规律进行烙8、9、10以及更多张饼的合理安排时，又在黑板上所填表格不经意地“引导”下发现了最短时间的规律。这里看似“不经意”，实则是教师“有意”，既紧紧围绕着“合理安排”进行教学，又在数学活动中有意识地发展学生的思维。我真为学生的发现由衷地感到高兴，这不就是学生智慧的火花在闪烁吗？

3.教师精彩的瞬间放飞智慧的魅力

本节课的另一个闪光之处就是我现场徒手画出了一个“锅”（圆），吸引了学生和在场听课的教师。另外，所有的板书我全是现场写、画，体现了一个数学教师应当具备的基本功。早在师范读书的时候，我就对学生学习的归因作过调查和分析，发现小学生的学习归因外部因素（即教师、家长、学习环境诸方面）有很大作用，其中教师的影响尤为深刻。所以，教学中一定不要忽视了自己的榜样示范作用和人格魅力。

（作者单位：武汉市育才小学）

责任编辑 廖 林