试论用“减法”求两个数的最大公因数

宓贤庆

教学片断

(新教材人教版第十册P81例2)求18和27的最大公因数。

师：请你们选择自己喜欢的方法进行思考，寻找解题方法，可以独立思考，也可以小组合作。

(教师学情预设：根据学生已有的知识水平，有的会分别写出每个数的因数再找最大公因数；有的会找出其中一个数的所有因数，再从大到小验证这些因数是不是另一个数的因数。有的会进行分解质因数；个别同学可能会直接用短除法)

过了数分钟……

师：你们都找到18和27的最大公因数了吗?

(教师在和学生交流时发现，学生的答案基本不出教师所料。课堂到此也似乎十分流畅，谁想到“半路杀出个程咬金”，还有一个同学高举双手不肯放下，跃跃欲试的表情写于脸上)

师：“×××，你还有什么不同的方法吗?”

该生站起来说：“27-18=9，9就是18和27的最大公因数。”

(同学们哄堂大笑，该生也很不好意思地坐下了)

(这一意想不到的方法是在座多数老师教学中从没遇到过的，我一时也不知道对不对，我们都睁大眼睛看上课教师怎么处置)

师：(教师一愣，随即把皮球又踢了回去)：你能说说这样想的理由吗?

(教室里很快安静下来，大家都想知道这看上去很妙的方法是否正确，老师又是怎么评价的)

“那是我猜的。”该生不好意思地回答。

师：(轻描淡写地)哦，这只是巧合吧，如果求4和9的最大公因数呢，能用9-4=5，难道5就是它们的最大公因数吗?

学生被老师问得哑口无言，这个问题也随之不了了之。

课后，老师们对这个小插曲展开了热烈的讨论，求两个数的最大公因数，可以用减法吗?学生的想法对不对?这仅仅是巧合，还是偶然之中存在必然?多数老师认为，这种解法不对，教师的例子不是很好的说明吗，如果放任这样的解法继续存在，对求两个数最大公因数的知识掌握会产生极大的负面影响，应该坚决予以纠正。可我总觉得学生之所以产生这样的方法，一定有他深层次的原因。我陷入了沉思。

课后，我查阅了资料。我发现学生的解法是正确的。理论依据是《九章算术》中的“更相减损术”。新教材人教版第十册P87“你知道吗?”讲到了“约分术”。虽然“更相减损术”是将一个分数化简为最简分数的算法，但是分数化简与最大公因数是紧密关联的。“更相减损术”可以适当改造后用于求最大公因数。在“更相减损术”中的“副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也”就是求两个整数的最大公因数的算法，我们不妨把它称之为辗转相减法。翻译为现代语言如下：任意给定两个正整数，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公因数。

“更相减损术”可以看作是欧几里得算法的另一种表现形式。欧几里得算法是用辗转相除的方法来计算，辗转相减法的证明过程与辗转相除法完全相同。课堂上在学生甚至教师还不了解欧几里得算法的情况下，学生能想到这一种全新的算法，非常可贵，可以称得上是创新。

既然中国古代就有了这种行之有效的方法，为什么教材就不采用“更相减损术”来求两个数的最大公因数呢?这是因为“更相减损术”是将一个分数化简为最简分数的算法，采用的是逐次约分的方法，应用在找最大公因数时有时步骤很少，就如例题。27-18=9，(其实照“更相减损术”操作，还有一步18-9=9)9就是18和27的最大公因数。有时步骤繁多，就如教师所举凡例，9-4=5，5-4=1(其实照“更相减损术操作”还有几步，4-1=3，3-1=2，2-1=1)，1才是9和4的最大公因数。甚至还有步骤更多、更复杂的，两个对比，发现用分解质因数找出最大公因数来得简洁方便。我想，课堂上教师如果有进取的心态，主动引导学生去探索知识的前因后果，而不是随意下结论，让概括、归并、简单这些重要的数学思想原则去影响学生，其意义会非同寻常。教学思考

一、主动“建构”，才是学生学习真面目

建构主义认为：学生的学习活动不是教师单方面向学生传递知识，而是学生根据外在信息，通过自己的背景知识，建构自己知识的过程。在这个过程中，学生不是被动的信息吸收者和刺激接受者，他们要对外部的信息进行选择和加工。从课堂教学中出现的小插曲可以看出，很显然，在学习求两个数最大公因数的方法时，学生的学习过程不是简单的复制教材提供的思维方式，他们的思维也没有完全局限于教师的预设空间。他们总会根据自己的想法，选择自己认为行之有效的手段，加工成属于自己的独特方法，主动建构属于自己的知识体系。因此，作为教师在琢磨怎么教的同时，更应该关注学生在怎么学。因为“外因只有通过内因才能起作用”。

二、精研教材，才能掌握教学主动权

仔细对照新旧教材，发现变化很大。浙教版第十册P50例3“求36和60的最大公因数”，教材是通过分别找出36和60的因数的方法再确定它们的最大公因数是12，接着教材用短除法确定12就是36和60的最大公因数，方法显得单一、程式化。而新教材则把例题修改为“求18和27的最大公因数”，在介绍了通过先找公因数再找最大公因数的方法后，引导学生思考，还有别的方法吗?我想教材这样修改，编者可能估计到学生会采用27-18=9的方法来求出最大公因数。如果教师也明白这一点，当课堂上产生这样的问题时，就可以从容地引导学生追本溯源，通过找出知识发生的原始状态，挖掘文本知识中积淀的数学文化，让学生体会到了数学作为人类的一种文化传承，它的思想是现代文明的重要组成部分，也让不同的学生在数学上得到了不同的发展。

三、民主融洽，才会创造课堂新亮色

新时期通讯传媒的发达使教师不再是知识的权威。新理念下的教师是学生学习的组织者、合作者、引导者。因此，学生在课堂上出现了与教师不同的看法和意见，甚至让教师认为不可思议的解答方法会越来越多，作为教师不要轻易加以否定，以保护学生的自尊心。教师要关注的是学生思考问题的过程，千万不要代替学生思考，更不可以把自己的思维模式强加给学生，固化他们的思维。在学生不可思议的解答方法背后可能就有合乎情理的理论支撑。如果学生一直在宽容、理解、尊重个性、共同学习的环境熏陶下，作为数学课堂上的真正主人去参与学习，必然会激发他们内心无限的潜力，数学课堂也随时可能迸发出创新的火花。

(责任编辑：李雪虹)