利用教材中的素材培养学生的空间观念

黄利民

摘要：几何教学要体现《数学课程标准》的理念，理论联系实际，通过引导学生们主动实践、动手操作、合作交流，培养学生形成正确的空间图形表象和平面图形表象及其相互转化，并学会用精练的数学语言来表述，加强几何知识与实际的联系，提高学生运用几何知识解决实际问题的能力和与他人合作交流的能力，促进学生空间观念的发展。

关键词：空间观念；空间想象能力；复杂图形；基本图形；动态问题；表象

中图分类号：G633.63文献标识码：A文章编号：1009-010X(2009)12-0041-03

“人人学有价值的数学”是《数学课程标准》中提出的一种新的课程理念。就内容来讲，“有价值的数学”应包括基本的数的概念与运算，空间与图形的初步知识，与信息处理有关的统计与概率的初步知识等等，还包括在理解与掌握这些内容的过程中形成和发展起来的数学观念与能力，如数感、符号感、空间观念、统计观念、推理能力和应用意识等等。这里提到的空间观念主要是指：“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”

学生空间观念的培养是《课标》中的重要理念之一，《课标》中对这部分内容的要求是，由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化，这实际上是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象和分析，不断由低到高向前发展认识客观事物的过程，从能力方面看，就是要培养学生的空间想象能力。因此，要求我们在实际教学中，必须打破传统的教学观念和方法，按照新课程的新理念和新方法去实施新课标。下面我结合自己的教学实践，谈一谈如何利用课本中的素材，渗透新《课标》的这一理念，培养学生的空间观念的做法和体会。

一、多举实例，并抽象出几何图形，培养学生的空间观念

我们知道，几何图形是从实物的形状中抽象出来的，所以在几何教学中应多举实例。例如：课桌面给我们长方形的形象；饭桌面给我们圆的形象；三角板给我们三角形的形象；方砖给我们长方体的形象；易拉罐给我们圆柱的形象；雨伞给我们圆锥的形象等等。反过来也可以由几何图形去想象出实物体，例如看到圆形你会想到什么?看到长方形你会想到什么?看到球体你会想到什么?看到圆锥图形你会想到什么?等等。也可运用多媒体技术演示从实物中抽象出几何图形的过程，帮助学生去想象。这样做不仅有利于加深学生对几何图形的认识，而且有利于培养学生的形象思维和空间想象力。

二、通过教材中观察与思考、做一做、一起探究、课题学习等内容的教学。培养学生的空间观念

在三角形相似这一章中有一个题目是如何测古塔的高?我在教学中讲到这部分知识时，就预先带领学生去实践。没有塔就把树当塔，利用竹竿或利用自己的身高，测出树的高，然后画出图形，找出实物与图形中线段之间的关系；在讲二元一次方程组应用这一部分内容时，有一道例题是利用火车过桥的时间和桥的长度计算火车的速度和长度，没有桥和火车我就让学生用文具盒代替火车，用课桌代替桥进行模拟实验，然后把火车抽象成窄长一点的小矩形，把桥根据实际需要抽象成线段，利用特殊位置静止法画出图形，然后我用多媒体演示这一过程并抽象出图形，让学生进行比对，从而实现这一数学建模过程。这样就把课堂里二维平面上的知识引导到三维客观实践中，用所学的数学知识建立数学模型，解决了现实生活中的实际问题。这样就可以让学生从实物的形状想象到图形的这种变化过程：也可以使学生从图形中想象出实物的形状，从而培养学生的空间观念。

在几何中的“做一做”当中，有一道题是利用图形剪纸板沿图中虚线剪开，做成一个长方体纸盒模型，在教学中我让学生搜集日用品的纸盒包装打开后进行研究，再利用大一点的纸盒，根据教师的统一要求，以小组为单位做成另外一个小一点的长方体或正方体纸盒模型，使学生自己在动手实践操作中和与他人合作交流中体会、感悟到几何体的表面与平面图形间的关系，从而培养学生的空间观念。

三、通过添置辅助线构造基本图形的教学，培养学生的空间观念

添置辅助线构造基本图形是沟通题设和结论的桥梁，是培养学生空间观念的重要一环。在教学中我充分发挥定理证明、典型例题、典型习题的作用。通过它们，使学生渐渐的领会添置辅助线构造基本图形的方法，以沟通问题中条件与结论间各元素的关系。这对学生空间观念的培养十分有益。如梯形中位线定理的证明，需通过添置辅助线将梯形中位线构造成三角形的中位线这个前面已经学过的基本图形，从而使问题得以解决；求两圆的外公切线时，也是通过添加辅助线把一个直角梯形分割成一个矩形和一个直角三角形的基本图形，或一个平行四边形和一个直角三角形的基本图形，把所有的未知量和已知量都归结到这个直角三角形中去，然后解这个直角三角形，使问题得以解决。

四、通过简单空间转化为平面图形的教学，培养学生的空间观念

在“三视图”的教学过程中，我组织学生用物品的包装盒自制多个小正方体搭建立体模型，让学生在观察、想象、比较、合作交流中画出其正确的“三视图”。并在较好地完成这一任务的基础上进行逆向思维训练，也就是说我先给出一立体模型“三视图”，由学生摆出相应的立体模型。从而培养学生的空间观念。

在用平面去截几何体的教学过程中，我让学生带一些可切的物体到课堂上，先去想象截面的几何形状，然后再真正去切食物来验证，我有意识地引导学生对用平面去截几何体的情形做多种想象，如用平面去截长方体能得到几种平面图形?并训练学生由几何体的截面图形去想象被截的几何体的形状。并在这节课让学生领悟到平面切平面相交成直线，平面切曲面的相交线是曲线。这样有助于学生的空间想象力。

在“圆柱和圆锥的侧面展开图”的教学中，我充分利用演示教学的直观性，使用教具让学生在和同伴动手操作与合作交流中，真真切切地看到圆柱的侧面展开图是矩形，将矩形卷起来可得到圆柱；圆锥的侧面展开图是扇形，将扇形卷起来可得到圆锥，并画出图形找到立体图形和它的侧面展开图中各量之间的关系。然后让学生当堂利用纸片制作一个高12厘米，底面圆的半径是5厘米的一个圆柱体和一个圆锥体。在此过程中我也要求学生尽量使用术语进行表述和交流。于是圆柱和圆锥的侧面展开图的学习也就水到渠成，从而揭示了圆柱和圆锥与他们的侧面展图的内在联系，使学生感悟到空间图形的问题可以转化为平面图形的问题来解决，它不仅使学生认识了空间图形，而且进一步培养了学生的空间想象力。

五、通过使用涂色法从复杂的图形中分解出简单的基本图形，培养学生的空间观念

我们知道：假如一台机器有若干个零件组成，当你都非常熟悉这些零件的性能并能拆装自如时，你就能轻易地掌握这台机器了。数学也是一样，所以要训练学生从复杂的图形中分解出简单的基本图形的能力，并找到其中基本元素及其关系，沟通题设和结论之间的联系，使问题得以解决。例如：在平行线的教学中，我们可以把同位角、内错角、同旁内角根据其角形成的特征定义为：“F”形、“z”形、“u”形等基本图形。以后我们在复杂的图形中，只要找准是哪两条直线被第三条直线所截，形成的是“F”形、“z”形、“U”形其中的哪一个基本图形，就很容易找到两条直线被第三直线所截所形成的角是同位角还是内错角或者是同旁内角。其实从复杂的图形中分解出简单的基本图形解决的问题方法贯穿整个几何教材。当图形太复杂不太容易画图或没必要画出这个复杂图形时，我们也可从复杂的图形中分解出简单的基本图形的同时，用这个简单的基本图形代表这个复杂的图形，充分发挥自己的空间想象力，使实际问题得以解决。例如在原课本中讲圆的内接正多边形这一节的内容时，可从圆的内接正多边形中分解出一个直角三角形，并用这个直角三角形的斜边代表正多边形外接圆的半径，一直角边代表弦心距，另一直角边代表正多边形边长的一半，而代表正多边形外接圆的半径和代表弦心距的直角边的夹角就是正多边形的一边所对圆心角的一半，这个角顶点代表正多边形外接圆的圆心，这样，这个简单的基本图形就代表了圆的内接正多边形这个复杂的图形。因为圆的内接正多形这个复杂的图形是由2n个这样的直角三角形组成的，然后再充分发挥空间想象能力，把这个基本图形还原成最初的复杂图形。这样就可以速解有关圆的内接正多边形的计算问题。这样做可以节省很多作图的时间，如果能再总结一些结论，并记住这些结论，再配合上正确的空间想象，解题的速度就更快了，这样做可以培养学生的想象力和空间观念。

有时我们也把特殊情况的图形做为基本图形，而把这个一般情况的图形转化成这个特殊图形来解决问题。例如：圆周角定理、弦切角定理的证明都是这样处理的，还有2007年河北省中考数学试题的第26题，也是用这种方法解决的。

六、通过中考压轴题中“动态题”的解决方法。培养学生的空间观念

我们在教学中，解中考压轴题中的“动态题”时，要抓住图形在运动过程中的特殊位置(如动直线和圆相切；动点恰好落在动圆上；两动点运动到一定位置时，过这两点的直线把图形的面积分割成相等的两部分等等)把这—特殊位置的特殊图形要根据原题给出的条件，结合原图重新画出这一特殊图形(这样的图形很有可能要画多个)，以此实现“动态”向“静态”的转化，这就可以找到解决问题的突破口。通过这种训练提高学生描述实物或几何图形的运动和变化规律的能力，培养学生的空间观念。

总之，我们在教学中要改变传统的教学模式，抓住各种机会充分挖掘教材中的素材，并利用各种有效的手段培养学生的空间观念与各种数学能力，才能符合教育的新理念。

责任编辑姜华