周华锋
许多中考综合题特别是一些所谓的压轴题具有情境独特、形式多变、构思巧妙,肩负着区分考生水平的重任,有时不少试题常令许多考生摸不着头绪从而望而生畏,甚至走入思维的“歧途”越解越烦,导致题没有解好,时间浪费大量。笔者认为一些中考压轴题可以通过寻找题目中的特殊“点”、特殊“角”、特殊“三角形或多边形”等作为解题的切入点,应该是一种行之有效的方法。
1、善于捕捉题中的特殊“点”
中考压轴题最后一小题,虽题型多样,但有时抓住特殊“点”的特殊坐标(或点的特殊位置)往往会给解题者带来“山重水复疑无路,柳岸花明又一村”的感觉。这种方法解决可以解决近几年中考试题中一类题目,如08年湖北咸宁中考最后一题等等,下面以2007年泰州市初中毕业、升学统一考试最后一题为例:
如图①,RtΔABC中,∠B=90°,∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10,0),顶点B的坐标为(5,53),AB=10,点从点A出发,沿A鯞鯟的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)求∠BAO的度数.
(2)当点P在AB上运动时,ΔOPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图②),求点P的运动速度.
(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
(4)如果点P,Q保持(2)中的速度不变,那么点P沿AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小,当点P沿这两边运动时,使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由
分析:第(4)题有的同学对此题无法下手,找不到解题的突破口。其实我们可以从特殊的点作为解题的“入口”,当点P与A点重合时,∠OPQ<90°(如图③),
当点P运动到与点B重合时,如图(4)计算OQ的长是2+2×5=12单位长度,然后作一个90°角∠OPM只要比较OQ与OM的长度就行,作∠OPM=90°交y轴于点M,作PH⊥y轴于点H,由ΔOPH∽ΔOPM得:OM=2033=11、5,所以OQ>OM,从而∠OPQ>90°.所以当点P在AB边上运动时,∠OPQ=90°的点P有1个②同理当点P在BC边上运动时,可算得OQ=12+1033=17、8.而构成直角时交y轴于0,3533,3533=20、2>17、8,所以∠OCQ<90°,从而∠OPQ=90°的点P也有1个.
所以当点P沿这两边运动时,∠OPQ=90°的点有2个
2、善于捕捉题中的特殊角
在中考压轴题解题过程中,如果能抓住一些特殊角,比如30°、45°、60°角的特殊性,往往会给解题者带来一条捷径。因为这些角往往与它们的边紧密的联系在一起,用直角三角形边角关系可以把问题简单化。在解题过程中关键抓住题中的这些特殊角,作为解题的一个突破口、这类试题目在06年山西临汾,07年浙江绍兴,07年浙江金华等一些中考压轴题中分别得以体现
例如:2007年苏州市中考题最后一题如图①设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A(一1,0)、B(m,0),与y轴交于点C、且∠ACB=90°.
(1)求m的值和抛物线的解析式;
(2)已知点D(1,n)在抛物线上,过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E.若点P在x轴上,以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似,求点P的坐标.
(3)在(2)的条件下,△BDP的外接圆半径等于.
分析:首先看第(2)小题中E点的坐标的特殊性(6,7)过点E作x轴的垂线EH
如图②EH=AH=7,由此可得出∠EAH=45°,同理∠DBF=45°,从这特殊角出发在x轴上寻找一点P,使ΔEAB∽ΔDBP1或ΔEAB∽ΔP2BD,可以求出点P的坐标、
第(3)小题在(2)的条件下求△BDP的外接圆半径,学生在解题过程中无法找到与外接圆半径有关的信息,我们可从特殊的角作为“入口”∠DBP1=45°,把ΔDBP1从整个图形中分理出来。
如图③由∠DBP1=45°,可得∠P1OD=90°,ΔP1OD是一个等腰直角三角形,因此只要求出DP1的值问题迎刃而解、DP1通过在RtΔDP1F中,DP1=DF2+FP21=3537,所以可得ΔDP1B的外接圆半径为310614,同理可得ΔDP2B外接圆的半径为3535、
3、善于捕捉题中的特殊多边形的特殊性质
许多特殊的多边形的一些特性隐藏在中考压轴题中,在近几年全国各地的中考试题中,不断体现,如07年河南省数学中考卷第23题等如果学生巧妙地捕捉到它的特性,那么对我们解综合题,特别是中考压轴题是有很大帮助的。
例如:2006年江西数学中考第25题问题背景:某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题:
①如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN;
②如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则BM=CN。
③如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O。若∠BON=108°,则BM=CN。
任务要求:
(1)请你从①,②,③三个命题中选择一个进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:
①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH,使点H在正五边形的边上,且与CN相交所成的一个角是108°,这样的线段有几条?(不必写出画法,不要求证明)
②如图4,在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108°,请问结论BM=CN是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。
解析:此题虽然是一种类比思想的运用,其实抓住正多边形的特殊角的度数,探索边和角的关系,证明三角形全等、任务(2)的②从特殊到一般的情况:N点的位置从DE上拓展到AE上,M点从CD的位置拓展到DE上,应用前几小题已有的解题思维方式进行延伸。
解题过程如下选命题③
证明:在图3中,∵∠BON=108°,∴∠1+∠2=108°
∵∠2+∠3=108°,∴∠1=∠3
又∵BC=CD,∠BCM=VCDN=108°
∴BM=CN
(2)①如图3所示,只有一条
②BM=CN成立。
证明:如图4,连结BD、CE
在△BCD和△CDE中,
∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠ECD
∵∠CDE=∠DEA=108°,∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠OCB=108°,∠OCB+∠OCD=108°,∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°,∴∠DBM=∠ECN
∴ΔBDM≌ΔCEN,∴BM=CN
数学课程标准要求学生掌握从特殊到一般的数学思想,许多探索型综合性试题往往从知识“特殊性”进行编题,然后用特殊性解决“一般性”问题,因此,数学中考压轴题用抓住特殊点、特殊角、特殊图形的特性去解决是一种很好的方法。
参考资料
2006、07、08年全国各地中考数学试题汇编、新疆青少年出版社
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”