基于内模原理的椭圆轨道编队最优维持控制

赵 宇，张洪华

（北京控制工程研究所，北京100190）

基于内模原理的椭圆轨道编队最优维持控制

赵 宇，张洪华

（北京控制工程研究所，北京100190）

基于内模原理，针对椭圆轨道编队维持控制过程中存在的周期扰动问题，结合动力学方程的时变周期系数特性，设计具有干扰抑制功能的线性周期时变最优二次调节器。干扰内模的加入，使得系统响应在稳态时具有良好的控制精度，同时基于最优性原理的设计使得系统的瞬态响应过程满足某种最优性能指标要求。仿真结果表明，在椭圆轨道的编队维持控制器中引入部分干扰内模可大幅度提高维持精度。

编队飞行；内模原理；最优控制；

1 引 言

卫星编队高精度维持控制是当前航天技术发展的方向之一，椭圆轨道卫星编队由于其动力学方面的复杂性而对控制技术提出了新的挑战。文献[1]针对椭圆轨道编队，考虑精度与燃耗之间的平衡，设计一个复杂的控制误差盒，实现编队维持；文献[2]利用微牛推力器研究了摄动条件下的编队维持问题；文献[3]利用干扰，结合相平面技术，采用常值推力对构型维持问题进行研究。

编队构型维持控制可表述为跟踪问题。由于卫星轨道的周期性，影响卫星编队构型的力大多有一定的周期性。对于存在周期扰动的干扰抑制和渐近跟踪问题，内模原理[4]是较常用的解决方法。对线性时不变系统的内模控制已经有较充分的研究[5]，但对线性时变系统的内模控制研究较少，且都是没有考虑最优意义下的控制策略。

本文针对椭圆轨道编队的高精度维持问题，基于内模原理，设计具有干扰抑制功能的最优调节器，在保证性能指标最优的同时实现相对轨道的高精度维持。文本首先对所要解决的问题进行了描述；在第三部分介绍椭圆轨道相对运动动力学，并对影响编队维持的因素进行分析；第四部分针对受扰线性周期系数系统设计一种二次最优调节器；最后应用该算法解决受摄条件下的椭圆轨道编队的高精度编队维持问题，并通过数值仿真验证了该算法的有效性。

2 问题描述

文中研究的问题为双星编队的维持控制，该控制问题可表述为针对参考轨迹的跟踪问题，如图1所示。编队参考轨迹由参考线性动力学模型产生，该轨迹考虑了任务需求进行设计。主星和从星的精确动力学模型为非线性动力学模型。初始时刻参考编队的主星与实际编队的主星状态相同，从星的相对初始状态则在参考轨迹附近，由于各种因素的影响，在无控制作用的运行中，双星实际相对轨迹相对于参考轨迹是发散的。因而设计控制器对从星施加控制，使得两星的相对轨迹能精确地跟踪参考模型的输出，同时期望这种跟踪具有某种意义上的最优性。

图1 控制流程方框图

3 椭圆轨道编队动力学及干扰分析

描述椭圆轨道编队运动的常用动力学方程为Tschauner-Hempel方程[6]（以下简称TH方程），该方程基于二体条件推导，通过对双星间的引力差线性化所得。以LVLH（local vertical local horizon）坐标系表示轨道坐标系，记从星相对主星的位置矢量为r=[x y z]T，相对速度矢量为卫星轨道根数为σ=[a e iΩωf]T，其中a为半长轴，e为偏心率，i为轨道倾角，Ω为升交点赤经，ω近地点幅角，f为真近点角，TH方程可表示为[6]

该方程可简记为

式中，矩阵A（σ）以主星轨道根数σ为参数。在二体条件下，根数σ中的元素只有f为周期时变量，其余均为常数，因而A（σ）为周期时变系数矩阵。文献[6]对该方程的自由解进行了研究，给出自由解有界的条件。本文的参考轨迹由满足有界性条件的齐次TH方程描述。用符号下标c表示参考轨迹，则参考轨迹动力学方程为

摄动条件下，影响编队的干扰力主要为中心引力差的高阶项以及J2项之差。受J2项摄动条件下的相对运动动力学方程可表示为

式中，g（σ（t））为高斯摄动方程，N（σ（t），r）为中心引力二阶项，B（σ（t））可表示为

由轨道摄动理论[7]可知，σ（t）表示为[7]

为了表示方便，记σ（t）为σ，σc（t）为σc，由泰勒公式可得

将式（8）、（9）和（10）取一阶近似，代入式（6），化简后得

由于δσ包含长期增长项，方程（11）等号右端第二项的系数有长期增长趋势，同时该系数阵与σc，rc有关，因而其变化有周期性。由于设初始时刻真实轨迹与参考轨迹很好的重合，在开始的一段时间内，方程（11）等号右端第一项的系数远大于第二项的系数。等号右端第三、第四项与主星的轨道根数和参考相对轨迹有关，是一种周期性的持续作用力，此作用力不会因为偏差ξ的缩小而减小。从以上分析可知，方程（11）可简记为

这里，w为方程（11）等号右端第二至五项的和，在控制过程中认为是扰动力。w的变化具有一定的周期性，其周期与σ，rc的变化周期有关，其基频为主星的轨道周期所对应的频率，可以把扰动力w表示为常值偏差、小斜率的斜坡偏差以及若干以主星轨道频率为基频的频域级数项的叠加。

4 考虑干扰的线性周期时变系数系统最优调节律

本节基于内模原理[4]针对线性周期时变系数系统设计二次最优调节律。不失一般性地假设干扰为常值干扰以及单频率周期扰动，扰动仅知频率信息，其余信息未知。

对象为

式中，A1（t）∈Rn×n，A2（t）∈Rn×n，Γ1（t）∈Rn×n，其中的元都为时间t的连续函数，χ1∈Rn，χ2∈Rn为状态变量，控制量υ∈Rn，干扰量d∈Rn，且有A1（t+T）=A1（t），A2（t+T）=A2（t），Γ1（t+T）=Γ1（t），T已知。系统满

足可控性要求，记χ=[χ1χ2]T。

假设干扰d由常值干扰d0和周期干扰d1相叠加合成，干扰模型可表示为

式中，ζ为周期干扰频率，已知，干扰的初值未知。

根据内模原理可知，当反馈回路中包含外部干扰的模型时，可实现对干扰的渐近抵消。本文基于内模原理设计的控制律为

式中，υ1为待设计的控制量，υ2为干扰内膜，设计为

K0（t）∈Rn×n，K1（t）∈Rn×n为常值阵或周期为T的时变阵，且要满足方程（18）的可控性，m0，m1分别为常值干扰和周期干扰的内模。

记λ0=m0+d0，λ1=m1+d1，则有

代入系统（13）则有

可选择K0（t），K1（t）使得系统（18）可控。

对系统（18），取性能指标

式中，Q（t）∈R5n×5n为对称半正定阵，S（t）∈Rn×n为对称正定阵。由二次最优调节理论可知，其最优解为[8]

在此控制下性能指标可达到最优[8]

由于积分性能指标有界，因而所设计的控制器可使得系统闭环稳定。

进而可得

式中，F0（t），F1（t），F2（t），F3（t），F4（t）均为周期时变矩阵。

将式（16）和（23）代入式（13）中，则有

则记

由于干扰初值的不确定性，如果H0（t）d0+H1（t）d1+H2（t）所代表的干扰空间与d0+d1所构成的干扰空间是一致的，则该控制律就可实现对干扰的完全抑制。

当H0（t），H1（t），H2（t）为常值时，两者是等价的。否则如H0（t），H1（t），H2（t）为周期时变的，则要在很强的条件下才等价。

如果H0（t），H1（t），H2（t）为小幅值周期时变的，则可以对其求取平均值

（也即是F0（t），F1（t），F2（t）取均值，取

此控制律可保证两种干扰空间表示的等价性。

最终所设计的控制律为

式中，Fi由方程（20）、（21）和（23）得，mi由方程（16）得。

5 数值仿真

利用上节的控制方法，针对椭圆轨道编队维持控制进行控制器设计及仿真。如前所述，影响编队的干扰为常值干扰（或慢时变长期增长干扰）和周期干扰，对其建模为

式中，wj∈R3×1，j=0，1，2，...，n，...。仿真中干扰的内模取到一阶，建模为

利用上节方法基于图1的控制流程进行仿真，取双星编队，考虑J2到J4项摄动，主星初始轨道根数为a=9000km，e=0.05，i=50°，Ω=30°，ω=40°，f（t0）=0，t0=0，初始参考星相对位置为[-1 -1 0.8]km，相对速度满足编队有界性条件，初始从星相对位置速度与参考星一致。设计中取K0（t）=，其中，Q0为常值偏差内模的权，取Q0为一阶周期扰动内模的权，取Q1=diag｛1，0，1，0，1，0｝×10-9（即仅对位置量进行加权），Qm为位置偏差和速度偏差的权，取Qm=I6×6，，仿真时间为主星的16个轨道周期。所得结果见图2～5。

图2 不包含内模时的位置误差图

从图2中可以看出，在不包含内模时，各方向的误差虽然得到有效的控制，但误差幅值是逐渐加大的；原因在于控制器设计中没有考虑干扰，而干扰中存在长期增长项使得控制偏差发散。图3中加入了扰动的常值以及一阶周期内模，从图中可以看出，各方向的位置偏差受到有效抑制。

从图4和图5中可以明显看出这种扰动力的长期增长趋势，同时由于这种增长速度缓慢，利用常值干扰内模也可很好地跟踪这种变化，对比图2与图5，可以看出周期内模对干扰造成的偏差进行了很好地补偿。

图3 包含内模时的位置误差图

图4 常值内模输出图

图5 周期内模输出图

6 结束语

本文基于内模原理，针对椭圆轨道编队的高精度维持控制进行了研究。主要的工作是针对椭圆轨道编队动力学的线性周期系数特性以及干扰的周期特性，采用扩维的方法，设计了考虑干扰抑制的线性周期时变最优二次调节器，该调节器在实现对常值以及周期扰动有效抑制的同时保证了某种性能指标的最优性。应用该方法进行椭圆轨道编队维持控制，对比通常的二次最优调节器，仿真结果表明内模的引入提高了轨道维持精度（加入干扰的两个内模提高了一个数量级的维持精度），因而可实现对轨道的高精度维持控制。

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Optimal Maintaining Control for Formation Flying in Elliptical Orbit Based on IMC Theory

ZHAO Yu，ZHANG Honghua
（Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China）

There exist periodic disturbances in the process of elliptical orbit formation maintaining control.In this paper，a linear periodically-varying optimal quadratic regulator is designed by combining the internal model principle with the characteristics of periodically-varying coefficients in dynamics equations.High accuracy of control is achieved by adding the disturbance internal models to the index in the optimal control.Numerical simulations show that the proposed controller containing some disturbance internal models can improve the formation maintaining accuracy a lot for the elliptical orbit.

formation flying；internal model control（IMC）theory；optimal control

TP273

A

1674-1579（2008）05-0017-05

2008-06-19

赵宇（1979-）男，河南人，博士研究生，研究方向为卫星编队飞行控制（e-mail：zyuasd@yahoo.com.cn）。