一道联考题的变式与拓广

2008-12-10 10:11唐长林
中学数学研究 2008年1期
关键词:准线切点切线

唐长林

笔者在研读湖北省2008届高三第二次联考理科第20题时,顿悟出与之相关的一组变式与拓广,为方便讨论,现给出原题:

如图1,线段AB过y轴上一点N(0,m),AB所在直线的斜率为k(k≠0),两端点A、B到y轴的距离之差为4k.

(1)求出以y轴为对称轴,过A、O、B三点的抛物线方程;

(2)过抛物线的焦点F作动弦CD,过C、D两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,求点M的轨迹方程,并求出〧C•〧D擢〧M擢2的值.

问题的答案:(1)x2=4y;(2)点M的轨迹方程y=-1;〧C•〧D擢〧M擢2=-1(解答略).

由答案(2)中可发现点M显然落在抛物线的准线上,于是可得到一个逆向性质:

变式一:过抛物线x2=4y的准线上任一点M作抛物线的两条切线,则过两切点C,D的连线段必通过抛物线的焦点F.

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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